九年级数学上册第二十四章24.3正多边形和圆备课资料教案新人教版

第二十四章

24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系 1各边相等各角也相等的多边形叫做正多边形.2将一个圆nn≥3等分顺次连接各个等分点得到的多边形是正n边形这个正n边形叫做圆的内接多边形这个圆叫做正n边形的外接圆.关键提醒:1根据定义判断一个多边形是否是正多边形必须满足两个条件:各边相等各角相等.缺一不可如菱形的各边相等矩形的各角都相等但它们都不是正多边形.2要判定一个多边形是不是正多边形除了根据定义来判定外还可以根据正多边形与圆的关系来判定即依次连接圆的nn≥3等分点所得的多边形是正n多边形.3把圆分成nn≥3等分经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.4任意三角形都具有内切圆和外接圆但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆.任意多边形不一定具有外接圆和内切圆但正多边形一定有外接圆和内切圆并且是同心圆.知识点2正多边形的有关概念与计算 正多边形的中心:正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心;正多边形的半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;正多边形的边心距:正多边形的中心到一边的距离叫做正多边形的边心距;正多边形的对称性:

①正多边形的轴对称性:正多边形都是轴对称图形一个正n边形共有n条对称轴每条对称轴都通过正n边形的中心;

②正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形它的中心是对称中心;

③正多边形的旋转对称性:正多边形都是旋转对称图形最小的旋转角等于中心角.关键提醒:1正多边形的有关概念是针对圆而言的比如正多边形的中心角相对于圆而言就应叫做圆心角;2边心距与弦心距的区别与联系:边心距是圆心到正多边形一边的距离此时的边心距也可以看作是正多边形的外接圆中圆心到弦的距离;3正多边形的有关计算:

①正n边形的每个内角为 ;

②正n边形的每个中心角为;

③正多边形的外角;

④设正n边形的边长、边心距、周长、面积分别为anrnlnSn则ln=nanSn=rnln;4 有关正多边形的计算常添加辅助线:边心距、半径与边长的一半构造直角三角形求解相关边或角.知识点3正多边形的画法 画正多边形的方法——一般通过等分圆周的方法:用量角器等分圆周或用尺规等分圆周.关键提醒:1用量角器等分圆周有两种方法:一是通过依次作相等的圆心角来等分圆周;另一种方法是先用量角器画一个的圆心角然后在圆上依次截取与这个圆心角所对弧相等的弧得到n个等分点;2用尺规等分圆周的方法:对于正四边形及其2nn为自然数倍边形如正八边形、正十六边形…、正六边形及其2nn为自然数倍边形如正十二边形、正二十四边形…和正三角形等特殊图形可以用直尺和圆规等分圆周.考点1关于正多边形的边长、边心距、半径的计算问题【例1】  若正六边形的边长为250px则它的边心距为　　.A. cm　　　B.125px　　　C.5cm　　　D.250px答案:C.点拨:如图正六边形的中心角为60°因此∠AOG=30°求边心距OG可转化到Rt△AOG中去解决.AG=125pxAO=2AG=250px所以OG==5cm.考点2利用正多边形和圆的关系解决实际问题【例2】  如图有六个矩形水池环绕.矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF正六边形的边长为4m.要从水源点P处向各水池铺设供水管道这些管道的总长度最短是　　　　m.所有管道都在同一平面内结果保留根号              解:作PH⊥AB于点H由于ABCDEF是正六边形所以PA=AB=4mBH=AB=2m在Rt△BPH中利用勾股定理可得PH===2m2×6=

12.所以从水源点处向各水池铺设供水管道这些管道的总长度最短是12m.点拨:本题是一道和正多边形有关的实际问题解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型即画出示意图正六边形所要解决的实际问题就转化为求点P到六边形六条边的距离和.为此只需要过点P作PH⊥AB于点H利用勾股定理求到PH即可.考点3解决作图的问题【例3】 已知☉O和☉O上的一点A. 1用尺规作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH.2在第1题作图中如果点E在上求证:DE可以是☉O内接正十二边形的一边.解:1

①作直径AC;

②用尺规作直径BD⊥AC作图痕迹如图

24.3-3所示过程略依次连接AB、BC、CD、DA则四边形ABCD为☉O的内接正方形;

③分别以A、C为圆心OA为半径画弧交☉O于点E、H、F、G顺次连接AE、EF、FC、CG、GH、HA则六边形AEFCGH为☉O的内接正六边形如图.2连接OE.∵　∠AOD==90°∠AOE==60°∴　∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°.∵　正十二边形的中心角为30°∴　DE可以是☉O内接正十二边形的一边.点拨:1可以通过作相互垂直的直径获得90°的圆心角来作圆的内接正方形.因为等于半径的弦所对的圆心角为60°因此不难作出☉O的内接正六边形;2证明DE可以是☉O内接正十二边形的一边只要证明DE所对的圆心角等于=30°即可. 。