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第3课时切线长定理※教学目标※【知识与技能】理解切线长的概念,掌握切线长定理.了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】在折叠、发现、探究的过程中再次体现圆的轴对称美,从而培养学生的观察、分析、归纳能力.通过列方程解决问题,感受数与形的统一.【情感态度】通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.【教学重点】切线长定理及其运用.【教学难点】切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.※教学过程※
1、复习导入回顾切线的判定方法及切线的性质定理?问题1经过⊙O上一个已知点A,作已知圆的切线怎样作?能作几条?问题2经过圆外一点P,如何准确地作已知⊙O的切线?
2、探索新知从上面的复习,我们可以知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条.那么经过圆外一点P,如何准确地作已知⊙O的切线?(连接OP,以OP为直径作⊙O′交⊙O于A,B两点,作射线PA,PB,则PA,PB为⊙O的切线,切点为A,B.)归纳总结经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.切线与切线长的区别圆的切线是直线,而切线长是一条线段长,不是直线.探究如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点分别为A,B.沿着直线PO将图形对折,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?分析连接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP.又OA=OB,OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB,∠APO=∠BPO.归纳总结切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.思考如图是一块三角形铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切?因为三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点到三条边的距离相等.所以,如图,分别作∠B,∠C的平分线BM,CN,设它们相交于点I,归纳总结与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
3、掌握新知例1如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=
13.求AF,BD,CE的长.解设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=
14.解得x=
4.因此AF=4,BD=5,CE=
9.例2如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,连接OP交⊙O于点D.若PA=4cm,PD=2cm求半径OA的长.解设OA=xcm,OP=OD+PD=(x+2)cm.∵PA=4cm由勾股定理,得PA2+OA2=OP2,即42+x2=x+
22.解得x=
3.所以,半径OA的长为3cm.例3如图,在△ABC中,O是内心,∠BOC=100°,则∠A=.分析∵O是内心,∴BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线.∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB).又∠BOC=120°,∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠ABC+∠ACB=120°.∴∠A=180°-120°=60°.答案60°
4、巩固练习
1.如图,△ABC中∠ABC=50°∠ACB=75°,点O是△ABC的内心.求∠BOC的度数.
2.△ABC的内切圆半径为r△ABC的周长为l求△ABC的面积. 答案
1.
2.解如图,设内心为O与内切圆的切点分别为D,E,F,连接OA,OB,OC则S=AB+BC+ACr=lr.
五、归纳小结本节课你学到了哪些知识?用到了哪些数学思想方法?应注意哪些概念之间的区别?※布置作业※从教材习题
24.2中选取.※教学反思※在本节课教学中,对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结尤其是切线长的基本图形研究环节,学生能充分利用已有的知识和新课内容结合,把切线长定理和圆的对称性紧密结合,体现了本节课知识点的工具性.。