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文本内容:
27.4 正多边形和圆
一、选择题1.xx·益阳如图K-22-1,正方形ABCD内接于⊙O,AB=4,则图中阴影部分的面积是 图K-22-1A.4π-16B.8π-16C.16π-32D.32π-162.在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有 A.1个B.2个C.3个D.4个3.一个正n边形的中心角是它的一个内角的,则n的值为 A.12B.11C.10D.84.如图K-22-2所示,在⊙O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是 图K-22-2A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.=D.∠BAC=30°5.如图K-22-3,正六边形ABCDEF内接于⊙O,若直线PA与⊙O相切于点A,则∠PAB的度数为 图K-22-3A.30°B.35°C.40°D.60°6.正六边形的边心距与边长之比为 A.∶3B.∶2C.1∶2D.∶27.圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,则∠APB的度数是 A.36°B.60°C.72°D.108°8.若正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2,则这个正多边形为 A.正十二边形B.正六边形C.正方形D.正三角形9.如图K-22-4所示,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠AOQ的度数为 图K-22-4A.60° B.65°C.72° D.75°
二、填空题10.已知正六边形的边长为a,则它的内切圆的面积为________.11.如图K-22-5,将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心,AB长为半径的扇形忽略铁丝的粗细,则所得扇形AFB阴影部分的面积为________.图K-22-512.如图K-22-6,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠C=120°,点E在上.若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边,∠DAE的度数为________.图K-22-6
三、解答题13.如图K-22-7所示,⊙O中,=====.求证六边形ABCDEF是正六边形.图K-22-714.如图K-22-8所示,已知等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径为R,求△ABC的边长a,周长P,边心距r及面积S.图K-22-815.如图K-22-9,在正五边形ABCDE中,连结AC,AD,CE,CE交AD于点F,连结BF.小颖得出了下列四个结论1△CDF的周长等于AD+CD;2FC平分∠BFD;3AC2+BF2=4CD2;4DE2=EF·CE.你认为这四个结论正确吗?请说明理由.图K-22-916.如图K-22-10,已知⊙O和⊙O上的一点A.1作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;2在1题的作图中,如果点E在上,求证DE是⊙O的内接正十二边形的一边.图K-22-10素养提升 思维拓展 能力提升阅读探究阅读材料并解答问题与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆,与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆,…,与正nn≥3边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆.设正n边形的面积为S正n边形,其内切圆的半径为r,试探索正n边形的面积.图K-22-111如图K-22-11所示,当n=3时,设AB切⊙O于点C,连结OC,OA,OB,则OC⊥AB,OA=OB,∴∠AOC=∠AOB,AB=2AC.在Rt△AOC中,∵∠AOC=×=60°,OC=r,∴AC=r·tan60°,AB=2r·tan60°,∴S△OAB=·r·2r·tan60°=r2tan60°,∴S正三角形=3S△OAB=3r2tan60°.2如图K-22-12
①,当n=4时,仿照1中的方法和过程可求得S正四边形=4S△OAB=__________;3如图
②,当n=5时,仿照1中的方法和过程求S正五边形;4如图
③,根据以上探索过程,请直接写出S正n边形=________.图K-22-12教师详解详析[课堂达标]
1.[解析]B 连结OA,OB,如图.∵四边形ABCD为正方形,∴∠AOB=90°.设OA=OB=r,则r2+r2=42,解得r=
2.∴S阴影=S⊙O-S正方形ABCD=π×22-42=8π-
16.故选B.2.[答案]A3.[答案]A4.[解析]D 因为OA=OB=AB,所以△OAB是等边三角形.又因为OC⊥AB,所以∠AOC=∠BOC=30°,所以∠BAC=15°,=,所以A,B,C正确,D不正确.5.[答案]A6.[解析]B 如图,设正六边形的边长是a,则其半径长也是a.过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC,连结OA,OB,则AC=AB=a,∴OC==a,∴正六边形的边心距与边长之比为a∶a=∶
2.故选B.7.[答案]C8.[解析]B 正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为∶2,则半径之比为∶
2.如图,设AB是正多边形的一边,O为正多边形内切圆与外接圆的圆心,OC⊥AB于点C,OC=k,则OA=OB=2k,在Rt△AOC中,cos∠AOC==,∴∠AOC=30°,∴∠AOB=60°,则正多边形的边数是=
6.故选B.9.[解析]D 因为圆心角与它所对弧的度数相等,所以求出的度数就求出了∠AOQ的大小,而=-.根据题意,得所对的圆心角为120°,所对的圆心角为×360°=45°,所以所对的圆心角为120°-45°=75°,所以∠AOQ=75°.10.[答案]11.[答案]18[解析]由题意可得,正六边形的边长AB就是扇形的半径,正六边形的边长BC,CD,DE,EF的和就是扇形的弧长,所以扇形AFB的半径AB=3,弧BDF的长为12,所以扇形AFB阴影部分的面积为S=rl=×3×12=
18.故答案为
18.12.[答案]42° [解析]连结BD,OA,OE,OD,如图所示.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠BAD+∠C=180°.∵∠C=120°,∴∠BAD=60°.又∵AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=60°,∴∠AOD=2∠ABD=120°.∵AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边,∴∠AOE=360°÷10=36°,∴∠DOE=120°-36°=84°,∴∠DAE=42°.13.[解析]由弧相等得到弦相等,从而证得该六边形的六条边相等,由弧相等也可以证得该六边形的六个内角相等.证明∵=====,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA等弧所对的弦相等.∵=====,∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F等弧所对的圆周角相等,∴六边形ABCDEF是正六边形.14.解如图,连结OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,则OB=R,∠OBD=∠ABC=30°,∴OD=OB=R,∴a=2·=2·R=R,P=3a=3R,r=OD=R,S=3·ar=3××R×R=R
2.15.解结论2错误,其他三个结论都正确.理由正五边形的每一个内角均为108°,由AE=DE,可求得∠EAD=∠EDA=36°,同理可得∠ECD=36°.又因为∠FED=∠DEC,所以△EFD∽△EDC,可得DE2=EF·CE;由角的关系可得AF=CF,所以△CDF的周长=CF+DF+CD=AF+DF+CD=AD+CD.所以1和4正确.易知∠AFB=∠BFC=54°,而∠CFD=72°,所以2是错误的.由条件可得AB=BC=AF=CF,所以四边形ABCF是菱形,则AC垂直平分BF,设AC与BF交于点M,由勾股定理可得CM2+MF2=CF2,从而可得AC2+BF2=4CD2,所以3正确.16.解1作法
①作⊙O的直径AC;
②作直径BD⊥AC;
③依次连结A,B,C,D四点,则四边形ABCD即为⊙O的内接正方形;
④分别以A,C为圆心,OA长为半径作弧,交⊙O于点E,H和F,G;
⑤顺次连结AE,EF,FC,CG,GH,HA,则六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形.2证明如图,连结OE,DE.∵∠AOD==90°,∠AOE==60°,∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°,∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.[素养提升]解24r2tan45°3如图,当n=5时,设AB切⊙O于点C,连结OC,OA,OB,则OC⊥AB,OA=OB,∴∠AOC=∠AOB=×=36°,AB=2AC.∵OC=r,∴AC=r·tan36°,AB=2r·tan36°,S△OAB=·r·2r·tan36°=r2tan36°,∴S正五边形=5S△OAB=5r2tan36°.4nr2tan。