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第2章 直线与圆的位置关系
一、选择题每小题5分,共30分1.已知⊙O的半径是3,圆心O到直线l的距离为2,则直线l与⊙O的公共点的个数为 A.0B.1C.2D.无法确定2.已知等边三角形ABC的边长为2cm.下列图形中,以A为圆心,半径是3cm的圆是 图6-Z-13.如图6-Z-2,PA,PB是⊙O的切线,AC是⊙O的直径,若∠P=50°,则∠BOC的度数为 A.25°B.40°C.50°D.60°图6-Z-2 图6-Z-34.如图6-Z-3,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为 A.B.C.D.15.如图6-Z-4,AB为⊙O的直径,AD切⊙O于点A,=.则下列结论不一定正确的是 A.BA⊥DAB.OC∥AEC.∠COE=2∠CAED.OD⊥AC图6-Z-4 图6-Z-56.如图6-Z-5,已知⊙O的半径为1,圆心O到直线l的距离为2,过l上任一点A作⊙O的切线,切点为B,则线段AB长度的最小值为 A.1B.C.D.2
二、填空题每小题5分,共30分7.如图6-Z-6,∠APB=30°,圆心在PB上的⊙O的半径为1cm,OP=3cm.若⊙O沿BP方向平移,当⊙O与直线PA相切时,圆心O平移的距离为________cm.图6-Z-6 图6-Z-78.如图6-Z-7,已知AD为⊙O的切线,⊙O的直径AB=2,弦AC=1,∠CAD=________°.9.如图6-Z-8,PA是⊙O的切线,A是切点,PA=4,OP=5,则⊙O的周长为________.结果保留π图6-Z-8 图6-Z-910.如图6-Z-9,已知等边三角形ABC的边长为6,以AB为直径的⊙O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧DE的长为________.11.如图6-Z-10,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D.若∠A=∠D,CD=3,则图中阴影部分的面积为________.图6-Z-10 图6-Z-1112.如图6-Z-11,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,DF交EC的延长线于点F,下列结论
①CE=CF;
②线段EF长的最小值为2;
③当AD=2时,EF与半圆相切;
④若点F恰好落在上,则AD=2;
⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是
16.其中正确结论的序号是________.
三、解答题共40分13.8分如图6-Z-12,⊙O的直径为AB,点C在圆周上异于点A,B,AD⊥CD.1若BC=3,AB=5,求AC的长;2若AC是∠DAB的平分线,求证直线CD是⊙O的切线.图6-Z-1214.10分如图6-Z-13所示,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,且∠AED=45°.1判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;2若⊙O的半径为6cm,AE=10cm,求∠ADE的正弦值.图6-Z-1315.10分如图6-Z-14,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆O交AC于点D,E为BC的中点,连结DE.1求证DE是半圆O的切线;2若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.图6-Z-1416.12分如图6-Z-15所示,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,AC为⊙O的直径,PO交⊙O于点E.1试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由.2若⊙O的半径为4,P是⊙O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由.图6-Z-15详解详析1.C
2.B3.C [解析]∵PA,PB是⊙O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°.而∠P=50°,∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.又∵AC是⊙O的直径,∴∠BOC=180°-130°=50°.故选C.4.A [解析]设⊙O与AC的切点为M,⊙O的半径为r,如图,连结OM,∵∠C=90°,∴CM=r.易得△AOM∽△ADC,∴OM∶CD=AM∶AC,即r∶1=4-r∶4,解得r=.5.D6.C [解析]当OA⊥l时,AB的长度最小,连结OB.∵OA⊥l,∴OA=
2.又∵AB是⊙O的切线,∴OB⊥AB.在Rt△AOB中,AB===.故选C.7.1或58.30 [解析]∵AB为⊙O的直径,∴∠C=90°.∵AB=2,AC=1,∴∠B=30°,∠BAC=60°.∵AD为⊙O的切线,∴BA⊥AD,∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°.9.6π10.π [解析]连结OD,OE,易证△ODE是等边三角形,∠DOE=60°,又OD=AB=3,根据弧长公式,得劣弧DE的长为=π.
11. [解析]如图,连结OC.∵过点C的切线交AB的延长线于点D,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,即∠D+∠COD=90°.∵AO=CO,∴∠A=∠ACO,∴∠COD=2∠A.∵∠A=∠D,∴∠COD=2∠D,∴3∠D=90°,∴∠D=30°,∴∠COD=60°.∵CD=3,∴OC=3×=,∴阴影部分的面积=×3×-=.12.
①③⑤13.解1∵AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∴∠ACB=90°.∵BC=3,AB=5,∴AC=
4.2证明连结OC.∵AC是∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠BAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.又∵AD⊥DC,∴OC⊥DC.又∵点C在⊙O上,∴直线CD是⊙O的切线.14.解1相切.理由如下如图,连结DO.∵∠AED=45°,∴∠AOD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ODC=∠AOD=90°.又∵OD是⊙O的半径,CD经过点D,∴CD是⊙O的切线.2如图,连结EB.∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.∵AB=2×6=12cm,AE=10cm,∠ADE=∠ABE,∴sin∠ADE=sin∠ABE===.15.解1证明如图,连结OD,OE,BD.∵AB为半圆O的直径,∴∠ADB=∠BDC=90°.∵在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴DE=BE.在△OBE和△ODE中,∴△OBE≌△ODE,∴∠ODE=∠ABC=90°.又∵OD是半圆O的半径,∴DE为半圆O的切线.2在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴BC=AC,∠C=60°.∵BC=2DE=4,∴AC=
8.∵∠C=60°,DE=EC,∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,∴AD=AC-DC=
6.16.解1∠APB=2∠BAC.理由∵PA,PB为⊙O的切线,∴PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB.易证Rt△PAF≌Rt△PBF,∴∠PFA=∠PFB=90°,∴∠APO+∠PAB=90°.∵PA切⊙O于点A,∴PA⊥OA,即∠BAC+∠PAB=90°,∴∠APO=∠BAC,∴∠APB=2∠BAC.2存在.∵当四边形PAOB是正方形时,PA=AO=OB=BP=4,PO⊥AB且PO=AB,∴PO·AB=PA·PB,即PO2=PA2,PO2=16,∴PO=4负值已舍.故这样的点P有无数个,它们到圆心O的距离等于
4.。