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2.
5.4 三角形的内切圆
一、选择题1．xx·广州如图K－20－1，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的 图K－20－1A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．xx·怀化模拟在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，它的内切圆⊙O的半径是1，则AC的长为 A．6B．3C．4D．53．如图K－20－2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，则BD的长度为 图K－20－2A．23B．22C．21D．204．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为 A．1∶B．1∶C．1∶2D．1∶35．如图K－20－3，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为 图K－20－3A．128°B．126°C．122°D．120°6．如图K－20－4，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是 图K－20－4A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形
二、填空题7．xx·湖州如图K－20－5，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．图K－20－58．如图K－20－6，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD＝3，CD＝2，△ABC的周长为14，则AB＝________．图K－20－69．如图K－20－7所示，⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径是________．图K－20－7
三、解答题10．如图K－20－8所示，有三边分别为
0.4m，
0.5m和
0.6m的三角形形状的铁皮，想要从中剪出一个面积最大的圆形铁皮，请你根据所学的知识，设计解决问题的方法.图K－20－811．xx·黄石如图K－20－9，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.1求证DB＝DE；2求证直线CF为⊙O的切线．图K－20－912．已知Rt△ABC的斜边AB＝，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2－2m＋1x＋2m＝0的两个实数根．1求m的值；2求Rt△ABC的内切圆的半径．13．已知任意三角形的三边长，如何求该三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积，并给出了证明．例如在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算∵a＝3，b＝4，c＝5，∴p＝＝6，∴S＝＝＝
6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．如图K－20－10，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝
9.1用海伦公式求△ABC的面积；2求△ABC的内切圆的半径r.图K－20－10素养提升 思维拓展 能力提升阅读与探究题【阅读材料】如图K－20－11
①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝ar＋br＋cr＝a＋b＋cr，∴r＝.【类比推理】如图K－20－11
②，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆与各边都相切的圆，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆的半径r.【理解应用】如图K－20－11
③，在Rt△ABC中，内切圆的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D，E和F，已知AD＝3，BD＝2，求r的值．图K－20－11教师详解详析【课时作业】[课堂达标]1．B
2.C3．[解析]A ∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∴AF＝AD＝13，CF＝CE，BD＝BE.∵AC＝25，∴CF＝AC－AF＝25－13＝
12.∵BC＝35，∴BE＝BC－CE＝35－12＝23，∴BD＝BE＝
23.故选A.4．[解析]C 如图，等边三角形ABC的内心、外心重合，连接OB，OD，则在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，sin∠OBD＝，∴OD∶BO＝1∶
2.5．[解析]C 在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC＋∠ECB＝180°－64°÷2＝58°，∴∠BEC＝180°－58°＝122°.故选C.6．[解析]A 过O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，OQ⊥AC于点Q，连接OK，OD，OF，由垂径定理得DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG.∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理，得OM＝ON＝OQ，即点O到三角形ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心．故选A.7．70° [解析]∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴BO平分∠ABC，OD⊥BC，∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.故答案为70°.8．[答案]5[解析]如图所示，由切线长定理可知BE＝BD＝3，CD＝CF＝2，AE＝AF.设AE＝AF＝x.根据题意，得2x＋3＋3＋2＋2＝14，解得x＝2，∴AE＝2，∴AB＝BE＋AE＝3＋2＝
5.9．[答案][解析]设AC切⊙O于点E，连接OE，则OE⊥AC.∵BC⊥AC，∴OE∥DC，∴△AOE∽△ADC，∴＝＝.代入相应数据即可求得OE.10．解作∠B，∠C的平分线BM和CN，交点为I，过点I作ID⊥BC，垂足为D；以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I即为面积最大的圆形，沿⊙I剪下来即可．11．证明1∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.2连接CD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝CD.∵BD＝DF，∴CD＝DB＝DF，∴∠BCF＝90°，∴BC⊥CF.又∵BC为⊙O的直径，∴CF为⊙O的切线．12．解1∵两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2－2m＋1x＋2m＝0的两个实数根，∴AC＋BC＝2m＋1，AC·BC＝2m，∴AC2＋BC2＝AC＋BC2－2AC·BC＝2m＋12－4m＝4m2＋
1.∵AC2＋BC2＝AB2，∴4m2＋1＝5，∴m＝1负值已舍去，即m的值是
1.2把m＝1代入方程得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，可设AC＝1，BC＝2，如图，连接OD，OF.∵⊙O切AC于点D，切BC于点F，∴∠ODC＝∠OFC＝90°＝∠C.又∵OD＝OF，∴四边形ODCF是正方形，∴OD＝OF＝CD＝CF.∵⊙O切AC于点D，切BC于点F，切AB于点E，∴AE＝AD，BE＝BF，∴AC－OD＋BC－OD＝AB，即1－OD＋2－OD＝，解得OD＝.故Rt△ABC的内切圆的半径是.13．解1∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，∴p＝＝＝10，∴S＝＝＝10，∴△ABC的面积为
10.2∵S△ABC＝·r·AC＋BC＋AB，∴10＝r·5＋6＋9，解得r＝，∴△ABC的内切圆的半径r＝.[素养提升]解【类比推理】如图
①，连接OA，OB，OC，OD.∵S＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD＝ar＋br＋cr＋dr＝a＋b＋c＋dr，∴r＝. 【理解应用】如图
②，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，OE＝EC＝CF＝FO＝r.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即3＋r2＋2＋r2＝52，r2＋5r－6＝0，解得r＝1负值已舍去．。
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