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第2章 直线与圆的位置关系类型之一 直线与圆的位置关系1.以坐标原点O为圆心,作半径为2的圆,若直线y=-x+b与⊙O相交,则b的取值范围是 A.0≤b<2B.-2≤b≤2C.-2<b<2D.-2<b<22.如图2-X-1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=
4.动点O在边CA上移动,且⊙O的半径为
2.1若圆心O与点C重合,则⊙O与直线AB有怎样的位置关系?2当OC的长为多少时,⊙O与直线AB相切?图2-X-1类型之二 切线的判定与性质3.如图2-X-2,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB长的最小值为 A.B.C.3D.2图2-X-2 图2-X-34.xx·枣庄如图2-X-3,在平行四边形ABCD中,AB为⊙O的直径,⊙O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则弧FE的长为________.5.如图2-X-4所示,AC是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,A为切点,连结PC交⊙O于点B,连结AB,已知PC=10,PA=
6.求1⊙O的半径;2cos∠BAC的值.图2-X-46.如图2-X-5,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE,AE,CD.若∠AEC=∠ODC.1求证直线CD为⊙O的切线;2若AB=5,BC=4,求线段CD的长.图2-X-57.如图2-X-6,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F,点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.1求证直线AE是⊙O的切线;2若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD=,CF=,求BF的长.图2-X-6类型之三 切线长定理8.如图2-X-7所示,正方形ABCD的边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆,再过点A作半圆的切线,与半圆切于点F,与CD交于点E,求△ADE的面积.图2-X-7类型之四 三角形的内切圆9.图2-X-8是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边长分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道,则O到三条支路的管道总长计算时视管道为线,中心O为点是 A.2mB.3mC.6mD.9m图2-X-8 图2-X-910.如图2-X-9,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB于点D,E,F,则Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为________.11.已知任意三角形的三边长,如何求三角形的面积?古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S=其中a,b,c是三角形的三边长,p=,S为三角形的面积.请解决以下问题如图2-X-10,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=
9.1用海伦公式求△ABC的面积;2求△ABC的内切圆半径r.图2-X-10类型之五 数学活动12.如图2-X-11所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A-,0,点C0,3,B是x轴上一点位于点A右侧,以AB为直径的圆恰好经过点C.1求∠ACB的度数.2已知抛物线y=ax2+bx+3经过A,B两点,求抛物线所对应的函数表达式.3线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由.图2-X-11详解详析
1.D [解析]如图,直线y=-x平分
二、四象限,将直线y=-x向上平移得直线y=-x+b1,当直线y=-x+b1与⊙O相切于点C时,由平移知∠CAO=∠AOC=45°,OC=2,∴OA=b1=2,同理将直线y=-x向下平移,得直线y=-x+b2,当直线y=-x+b2与⊙O相切时,此时b2=-2,∴当直线y=-x+b与⊙O相交时,b的取值范围为-2<b<
2.2.解1如图所示,过点C作CM⊥AB,垂足为M.在Rt△ABC中,AB===
5.∵S△ABC=AC·BC=AB·CM,∴CM=.∵>2,∴当圆心O与点C重合时,⊙O与直线AB相离.2如图所示,设⊙O与AB相切,过点O作ON⊥AB于点N,则ON=r=
2.∵CM⊥AB,ON⊥AB,∴ON∥CM,∴△AON∽△ACM,∴=.设OC=x,则AO=3-x,∴=,∴x=,∴当OC=时,⊙O与直线AB相切.3.B 4.π [解析]如图,连结OE,OF,∵CD是⊙O的切线,∴OE⊥CD,∴∠OED=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°.∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,∴的长为×6=π.故答案为π.5.解1∵PA是⊙O的切线,AC为⊙O的直径,∴PA⊥AC.在Rt△ACP中,PA=6,PC=10,∴AC==8,∴AO=AC=
4.故⊙O的半径为
4.2∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90°.又∵∠PAC=90°,∠ACB=∠PCA,∴△ABC∽△PAC,∴∠BAC=∠P,∴cos∠BAC=cosP===.6.解1证明连结CO.∵圆周角∠AEC与∠ABC所对的弧相同,∴∠ABC=∠AEC.又∠AEC=∠ODC,∴∠ABC=∠ODC.∵OC=OB,OD⊥BC,∴∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠COD=90°.∴∠ODC+∠COD=90°,∴∠OCD=180°-∠ODC-∠COD=90°,即OC⊥CD.又OC为⊙O的半径,∴直线CD为⊙O的切线.2在⊙O中,OD⊥弦BC于点F,∴BF=CF=BC=
2.又OB=AB=,∴OF==.由1知∠OBF=∠CDF,且∠OFB=∠CFD,∴△OFB∽△CFD,∴=,∴CD===.7.解1证明∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵∠D=∠B,∠EAC=∠D,∴∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠BAC=90°,即∠BAE=90°,∴BA⊥AE.又∵AB是⊙O的直径,∴直线AE是⊙O的切线.2如图,过点F作FH⊥BC于点H,∵∠BAD=∠BCD,cos∠BAD=,∴cos∠BCD=.在Rt△CFH中,∵CF=,∴CH=CF·cos∠BCD=×=.∵BC=4,∴BH=BC-CH=4-=.∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°.∵∠BAC=30°,∴∠B=60°,∴BF===
3.8.解设DE=xcm,则CE=4-xcm.∵CD,AE,AB均为⊙O的切线,∴EF=CE=4-xcm,AF=AB=4cm,∴AE=AF+EF=8-xcm.在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,即8-x2=42+x2,解得x=
3.∴S△ADE=AD·DE=×4×3=6cm2.9.C [解析]在Rt△ABC中,BC=8m,AC=6m,则AB===10m.∵中心O到三条支路的距离相等,设该距离是rm.△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积,即AC·BC=AB·r+BC·r+AC·r,∴6×8=10r+8r+6r,∴r==
2.故O到三条支路的管道总长是2×3=6m.故选C.
10. [解析]根据题意,得⊙I的半径r==
2.连结ID,IE,IF,IO,则四边形CEID为正方形,∴ID=CE=2,BF=BE=4,OF=1,在Rt△IFO中,IO===.11.解1∵BC=5,AC=6,AB=9,∴p===10,∴S===
10.故△ABC的面积为
10.2∵S=rAC+BC+AB,∴10=r5+6+9,解得r=,故△ABC的内切圆半径r为.12.解190°.2在Rt△ABC中,∵OA·OB=OC2,∴OB=
4.即点B的坐标为4,0.设抛物线所对应的函数表达式为y=ax-4x+=ax2+bx+
3.比较常数项得a=-,∴抛物线所对应的函数表达式为y=-x-4x+.3存在.直线BC所对应的函数表达式为3x+4y=12,设点D的坐标为x,y.
①若BD=OD,则点D在OB的垂直平分线上,点D的横坐标为2,纵坐标为,即D12,.
②若OB=BD=4,则=,=,得y=,x=,即D2,.综上所述,线段BC上存在点D,使△BOD为等腰三角形,符合条件的点D的坐标为2,或,.。