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第2章 直线与圆的位置关系1.xx·湖州如图2-BZ-1,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是 A.25°B.40°C.50°D.65°图2-BZ-1 图2-BZ-22.xx·湘西如图2-BZ-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以
2.5cm为半径画圆,则⊙C与直线AB的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.xx·泰安如图2-BZ-3,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于 A.20°B.35°C.40°D.55°图2-BZ-3 图2-BZ-44.xx·安顺如图2-BZ-4,⊙O的直径AB=4,BC切⊙O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD的长为 A.B.C.D.图2-BZ-55.xx·日照如图2-BZ-5,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,连结PO并延长交⊙O于点C,连结AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长是 A.5B.5C.5D.6.xx·宁波如图2-BZ-6,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长为 A.B.C.πD.2π图2-BZ-6 图2-BZ-77.xx·杭州如图2-BZ-7,AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,若∠ABT=40°,则∠ATB=________°.8.xx·镇江如图2-BZ-8,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,CO交⊙O于点D.若∠CAD=30°,则∠BOD=________°.图2-BZ-8 图2-BZ-99.xx·衢州如图2-BZ-9,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为-1,0,半径为1,P为直线y=-x+3上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是________.10.xx·德阳如图2-BZ-10,已知⊙C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,P为⊙C上一动点,经过点O的直线l上有两点A,B且OA=OB∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为________.图2-BZ-1011.xx·衢州如图2-BZ-11,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,直线BF与AD的延长线交于点F,且∠AFB=∠ABC.1求证直线BF是⊙O的切线;2若CD=2,OP=1,求线段BF的长.图2-BZ-1112.xx·丽水如图2-BZ-12,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,以BC为直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.1求证∠A=∠ADE;2若AD=16,DE=10,求BC的长.图2-BZ-1213.xx·湖州如图2-BZ-13,O为Rt△ABC的直角边AC上一点,以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D,交OA于点E.已知BC=,AC=
3.1求AD的长;2求图中阴影部分的面积.图2-BZ-1314.xx·温州如图2-BZ-14,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O圆心O在△ABC内部经过B,C两点,交AB于点E,经过点E作⊙O的切线交AC于点F,连结CO并延长交AB于点G,作ED∥AC交CG于点D.1求证四边形CDEF是平行四边形;2若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的长.图2-BZ-1415.xx·金华如图2-BZ-15,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D,E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.1求证AC平分∠DAO.2若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度数;
②若⊙O的半径为2,求线段EF的长.图2-BZ-15详解详析1.B [解析]连结OC.∵⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∴AB是⊙O的直径.∵∠A=25°,∴∠BOC=2∠A=50°.∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴∠D=90°-∠BOC=40°.2.A [解析]过点C作CD⊥AB于点D.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB==5cm.∵△ABC的面积=AC·BC=AB·CD,∴3×4=5CD,∴CD=
2.4cm<
2.5cm,即d<r,∴以
2.5cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交.故选A.3.A [解析]连结OC,因为CM为⊙O的切线,所以OC⊥MC.因为AM⊥MC,所以AM∥OC,所以∠MAB=∠COB,∠MAC=∠OCA.因为OB=OC,所以∠OCB=∠OBC=55°,所以∠MAB=∠COB=180°-2×55°=70°.因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA=∠MAC,所以∠MAC=∠MAB=35°.因为∠ADC+∠ABC=180°,所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-55°=125°,所以∠ACD=180°-∠ADC-∠MAC=180°-125°-35°=20°.4.B [解析]连结BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵OC∥AD,∴∠A=∠BOC,∴cosA=cos∠BOC.∵BC切⊙O于点B,∴OB⊥BC,∴cos∠BOC==,∴cosA=cos∠BOC=.又∵cosA=,AB=4,∴AD=.5.A [解析]过点O作OD⊥AC于点D,由已知条件和圆的性质易求OD的长,再根据勾股定理即可求出AD的长,进而可求出AC的长.过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,∴AB⊥AP,∴∠BAP=90°.∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°.∵OA=OC,∴∠OAD=30°.∵AB=10,∴OA=5,∴OD=OA=,∴AD==,∴AC=2AD=
5.故选A.6.B [解析]连结OE,OD,设⊙O的半径为r,∵⊙O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴四边形ADOE是正方形.∵O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AE=AC,∴AC=2r,同理可知AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°.∵BC=2,∴由勾股定理,得AB=2,∴r=1,∴==.故选B.7.50 [解析]∵AT是⊙O的切线,∴∠TAB=90°.∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°.8.120 [解析]由AC与⊙O相切,得∠CAO=90°,而∠CAD=30°,故∠OAD=60°.由OA=OD,得∠OAD=∠ODA=60°,故∠BOD=∠OAD+∠ODA=60°+60°=120°.9.2 [解析]连结PA,PQ,AQ.则PQ2=PA2-AQ2,PQ=.又AQ=1,故当PA有最小值时PQ最小.过点A作AP′⊥MN于点P′,则AP′=3,即PA的最小值为3,故PQ最小==
2.10.411.解1证明∵∠AFB=∠ABC,∠ABC=∠ADC,∴∠AFB=∠ADC,∴CD∥BF,∴∠APD=∠ABF.∵CD⊥AB,∴AB⊥BF.又∵AB为⊙O的直径,∴直线BF是⊙O的切线.2如图,连结OD.∵CD⊥AB,∴PD=CD=.又∵OP=1,∴OD=
2.∵∠PAD=∠BAF,∠APD=∠ABF=90°,∴△APD∽△ABF,∴=,∴=,∴BF=.12.解1证明如图,连结OD,∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵OD=OB,∴∠B=∠BDO.∴∠A=∠ADE.2如图,连结CD,∵∠ADE=∠A,∴AE=DE.∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°.∴EC是⊙O的切线,∴DE=EC,∴AE=EC.∵DE=10,∴AC=2DE=
20.在Rt△ADC中,DC==
12.设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=x+162-202,∴x2+122=x+162-202,解得x=9,∴BC==
15.13.解1在Rt△ABC中,∵BC=,AC=3,∴AB==
2.∵BC⊥OC,∴BC是⊙O的切线.又∵⊙O与斜边AB相切于点D,∴BD=BC=,∴AD=AB-BD=2-=.2在Rt△ABC中,∵sinA===,∴∠A=30°.∵⊙O与斜边AB相切于点D,∴OD⊥AB,∴∠AOD=90°-∠A=60°.∵=tanA=tan30°,∴=,∴OD=1,∴S阴影==.14.解1证明如图,连结OE.∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠B=45°,∴∠COE=2∠B=90°.∵EF是⊙O的切线,∴OE⊥EF,∴∠FEO=90°,∴∠FEO+∠COE=180°,∴EF∥CD.又∵ED∥AC,∴四边形CDEF是平行四边形.2如图,过点G作GH⊥BC,垂足为H.∵四边形CDEF是平行四边形,∴∠DEF=∠
1.又∵GH⊥BC,∴∠GHB=∠ACB=90°,∴AC∥GH,∴∠1=∠2,∴∠DEF=∠
2.又∵tan∠DEF=2,∴在Rt△CHG中,tan∠2==
2.∵在Rt△BHG中,∠B=45°,∴GH=BH,∴=
2.又∵BC=3,∴CH=2,BH=
1.在Rt△BHG中,由勾股定理,得BG=.15.解1证明∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠DAC=∠ACO.∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO,∴∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠DAO.2
①∵OC∥AD,∴∠EOC=∠DAO=105°,∴∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.
②如图,过点O作OG⊥CE于点G,∴FG=CG.在Rt△OGC中,OC=2,∠OCE=45°,∴OG=CG=OCsin45°=2×=2,∴FG=CG=
2.在Rt△OGE中,OG=2,∠E=30°,∴EG===2,∴EF=EG-FG=2-
2.。