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2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题III本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,共4页,满分150分考试时间120分钟注意事项1.考生将自己的姓名、考试号及所有答案均填写在答题卡上,交卷时只交答题卡2.考生必须用
0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置
一、选择题(每小题只有一个选项符合题意12小题,每小题5分,共60分)
1.直线(为实常数)的倾斜角的大小是().A.B.C.D.
2.若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是()A、相交B、异面C、平行D、异面或相交
3、下列命题中
(1)、平行于同一直线的两个平面平行;
(2)、平行于同一平面的两个平面平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行;
(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1B、2C、3D、
44、在空间四边形各边上分别取四点,如果与能相交于点,那么()A、点必在直线上B、点必在直线BD上C、点必在平面内D、点必在平面外5.已知直线:直线若直线∥则实数的值为 A.-1或3B.-1C.3D.
6、直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积为A、B、C、D、
7.无论为何值,直线总过一个定点,其中,该定点坐标为().A.(1,)B.(,)C.(,)D.(,)
8、如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影必在()(A)直线AB上(B)直线BC上(C)直线AC上(D)△ABC内部9已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是()ABC.D
10、设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x则被y=x反射后反射光线所在的直线方程是A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x+2y+3=011.在同一平面直角坐标系中,直线l1ax+y+b=0和直线l2bx+y+a=0有可能是 12.已知点A02,B20.若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 A.4B.3C.2D.1
二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)
13、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是.
14.已知点M(a,b)在直线上,则的最小值为.15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.
16.设…为平面内的个点,在平面内的所有点中,若点到点…的距离之和最小,则称点为点…的一个“中位点”下列命题中为真命题的是
①若三个点共线,在线段上,则是的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知直线经过点,且斜率为;
(1)求直线的方程;
(2)若直线与平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程
18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=
2.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.1证明AD⊥平面BCD;2求BD与平面ABC所成角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知A30,B04,
(1)求直线AB的方程;
(2)若直线AB上有一动点Px,y,求xy的最大值.
20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.1若PA=PD,求证平面PQB⊥平面PAD;2点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.
21.(本小题满分12分)已知点A3,-1,直线,过点(1,2)且与直线垂直的直线为;
(1)求直线的方程;
(2)过点A作直线交x轴于点B,交直线于点C,若|BC|=2|AB|,求直线AC的方程.
22.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ0λ2.1当λ=1时,证明直线BC1∥平面EFPQ;2是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.DDBABADACABA
13、3.
14.
3.15.π.
16.
①④
17.解
(1)根据点斜式,直线的方程为即
(2)设直线的方程为依题意得解得或所以所求的直线方程为或
18.解1证明依题意得在△ABC中,∠CAB=45º,AC=2,AB=4∴△ABC为等腰直角三角形∴BC=2且BC⊥AC又∵平面ADC⊥平面ABC,BC平ABC,平面ADC∩平面ABC=AC∴BC⊥平面ACD又AD平面ACD∴AD⊥BC又∵AD⊥CDBC∩CD=C∴AD⊥平面BCD2取AC中点E,连接DEBE∵AD=CD∴DE⊥AC又∵平面ADC⊥平面ABCDE平面ACD平面ACD∩平面ABC=AC∴DE⊥平面ABC∴斜线BD在平面ABC上的射影为BE∴∠DBE即为BD与平面ABC所成的角∵DE=BE=BD=∴∠DBE=19.解
(1)根据截距式,直线AB的方程为+=1,整理得4x+3y-12=02∵P在直线AB上,∴x=3-y,∴xy=3y-y2=-y2+4y=[-y-22+4]∴当时,取到最大值为
320.解析1连接BD,四边形ABCD为菱形.∵AD=AB,∠BAD=60°,∴△ABD为正三角形,又Q为AD的中点,∴AD⊥BQ.∵PA=PD,Q为AD的中点,∴AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,而AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.2当t=时,使得PA∥平面MQB,连AC交BQ于N,交BD于O,则O为BD的中点.又∵BQ为△ABD边AD上的中线,∴N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=a,AC=a.∵PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,∴PA∥MN,===,即PM=PC,t=.
21.解
(1)设直线的方程为把(1,2)代入得∴直线的方程为
(2)当直线AC的斜率不存在时,B3,0,C3,
6.此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|.所以直线AC的斜率存在,设为直线AC的方程为y+1=kx-
3.令y=0,得所以设直线l的方程为y+1=kx-
3.令y=0,得B错误!未找到引用源.由错误!未找到引用源得C点横坐标xC=错误!未找到引用源.若|BC|=2|AB|,则|xC-xB|=2|xA-xB|.所以错误!未找到引用源=2错误!未找到引用源.所以错误!未找到引用源-错误!未找到引用源-3=错误!未找到引用源或错误!未找到引用源-错误!未找到引用源-3=-错误!未找到引用源,解得k=-错误!未找到引用源或k=错误!未找到引用源.所以所求直线l的方程为3x+2y-7=0或x-4y-7=
0.
22..解
(1)当时,分别为的中点连接交于点根据正方体的性质,为中点连接又因为为中点,则∥又∵平面平面∴∥平面2过点作的垂线交于点由题意可知∥,=,∴为的四等分点,即连接∵平面⊥平面平面⊥平面平面=∴⊥平面又∵FH平面∴⊥FH∴解得λ=1±∴存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.
1.直线(为实常数)的倾斜角的大小是(D).A.B.C.D.
2、若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是(D)A、相交B、异面C、平行D、异面或相交
3、下列命题中
(1)、平行于同一直线的两个平面平行;
(2)、平行于同一平面的两个平面平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行;
(4)、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有BA、1B、2C、3D、
44、在空间四边形各边上分别取四点,如果与能相交于点,那么(A)A、点必在直线上B、点必在直线BD上C、点必在平面内D、点必在平面外5.5.已知直线:直线若直线∥则实数的值为 B A.-1或3B.-1C.3D.
6、直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则四棱锥B—APQC的体积为AA、B、C、D、
7.无论为何值,直线总过一个定点,其中,该定点坐标为(D).A.(1,)B.(,)C.(,)D.(,)
8、如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影必在(A)(A)直线AB上(B)直线BC上(C)直线AC上(D)△ABC内部9已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是(C)ABC.D
10、设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x则被y=x反射后反射光线所在的直线方程是AA.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x+2y+3=011.在同一平面直角坐标系中,直线l1ax+y+b=0和直线l2bx+y+a=0有可能是 B 12.已知点A02,B20.若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 A.4B.3C.2D.1解析设点Ct,t2,直线AB的方程是x+y-2=0,|AB|=2,由于△ABC的面积为2,则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h=2,即h=,由点到直线的距离公式得=,即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或者t2+t-2=-2,这两个方程各自有两个不相等的实数根,故这样的点C有4个.
13、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是3.
14.已知点M(a,b)在直线上,则的最小值为
3.15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.解析由三视图可知,该几何体为底面半径是2,高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体,则该几何体的体积为π×22×2+π=π.
16.设…为平面内的个点,在平面内的所有点中,若点到点…的距离之和最小,则称点为点…的一个“中位点”下列命题中为真命题的是
①④①若三个点共线,在线段上,则是的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点
17.已知直线经过点,且斜率为;
(1)求直线的方程;
(2)若直线与平行,且点到直线的距离为3,求直线的方程解
(1)根据点斜式,直线的方程为即
(2)设直线的方程为依题意得解得或所以所求的直线方程为或
18.如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=
2.将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.1证明AD⊥平面BCD;2求BD与平面ABC所成角的余弦值.解1证明依题意得在△ABC中,∠CAB=45º,AC=2,AB=4∴△ABC为等腰直角三角形∴BC=2且BC⊥AC又∵平面ADC⊥平面ABC,BC平ABC,平面ADC∩平面ABC=AC∴BC⊥平面ACD又AD平面ACD∴AD⊥BC又∵AD⊥CDBC∩CD=C∴AD⊥平面BCD3取AC中点E,连接DEBE∵AD=CD∴DE⊥AC又∵平面ADC⊥平面ABCDE平面ACD平面ACD∩平面ABC=AC∴DE⊥平面ABC∴斜线BD在平面ABC上的射影为BE∴∠DBE即为BD与平面ABC所成的角∵DE=BE=BD=∴∠DBE=19.已知A30,B04,
(1)求直线AB的方程;
(2)若直线AB上有一动点Px,y,求xy的最大值.解
(1)根据截距式,直线AB的方程为+=1,整理得4x+3y-12=02∵P在直线AB上,∴x=3-y,∴xy=3y-y2=-y2+4y=[-y-22+4]∴当时,取到最大值为
320.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.1若PA=PD,求证平面PQB⊥平面PAD;2点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB.解析1连接BD,四边形ABCD为菱形.∵AD=AB,∠BAD=60°,∴△ABD为正三角形,又Q为AD的中点,∴AD⊥BQ.∵PA=PD,Q为AD的中点,∴AD⊥PQ,又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,而AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.2当t=时,使得PA∥平面MQB,连AC交BQ于N,交BD于O,则O为BD的中点.又∵BQ为△ABD边AD上的中线,∴N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=a,AC=a.∵PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,∴PA∥MN,===,即PM=PC,t=.
21.已知点A3,-1,直线,过点(1,2)且与直线垂直的直线为;
(1)求直线的方程;
(2)过点A作直线交x轴于点B,交直线l1于点C,若|BC|=2|AB|,求直线AC的方程.解
(1)设直线的方程为把(1,2)代入得∴直线的方程为
(2)当直线AC的斜率不存在时,B3,0,C3,
6.此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|.所以直线AC的斜率存在,设为直线AC的方程为y+1=kx-
3.令y=0,得所以设直线l的方程为y+1=kx-
3.令y=0,得B错误!未找到引用源.由错误!未找到引用源得C点横坐标xC=错误!未找到引用源.若|BC|=2|AB|,则|xC-xB|=2|xA-xB|.所以错误!未找到引用源=2错误!未找到引用源.所以错误!未找到引用源-错误!未找到引用源-3=错误!未找到引用源或错误!未找到引用源-错误!未找到引用源-3=-错误!未找到引用源,解得k=-错误!未找到引用源或k=错误!未找到引用源.所以所求直线l的方程为3x+2y-7=0或x-4y-7=
0.
22.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ0λ2.1当λ=1时,证明直线BC1∥平面EFPQ;2是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.解
(1)当时,分别为的中点连接交于点根据正方体的性质,为中点连接又因为为中点,则∥又∵平面平面∴∥平面2过点作的垂线交于点由题意可知∥,=,∴为的四等分点,即连接∵平面⊥平面平面⊥平面平面=∴⊥平面又∵FH平面∴⊥FH∴解得λ=1±∴存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.。