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2019-2020年高考总复习文数(人教版)讲义第10章概率第2节古典概型Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养古典概型 xx·全国卷Ⅱ·T11·5分利用古典概型概率公式求解数学运算xx·天津卷·T3·5分利用古典概型概率公式求解数学运算xx·山东卷·T16·12分列出基本事件空间利用古典概型的概率公式求解数学运算xx·全国卷Ⅰ·T3·5分列出基本事件空间利用古典概型的概率公式求解数学运算xx·全国卷Ⅲ·T5·5分列出基本事件空间利用古典概型的概率公式求解数学运算xx·全国卷Ⅰ·T4·5分列出基本事件空间利用古典概型的概率公式求解数学运算命题分析古典概型是高考常考知识,一般是根据题意列出基本事件空间,然后利用古典概型的概率公式求概率,一般以选择题形式出现,有时候也出在解答题中,难度不大.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.1有限性试验中所有可能出现的基本事件__只有有限个__;2等可能性每个基本事件出现的可能性__相等__.3.古典概型的概率公式PA=.提醒1.在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时,易忽视它们是否是等可能的.2.概率的一般加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B中,易忽视只有当A∩B=∅,即A,B互斥时,PA∪B=PA+PB,此时PA∩B=0.1.判断下列结论的正误正确的打“√”,错误的打“×”1“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”. 2掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事件是等可能事件. 3在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,则事件A的概率为. 答案1× 2× 3√2.教材习题改编一个口袋内装有2个白球和3个黑球,则先摸出1个白球后放回的条件下,再摸出1个白球的概率是 A. B. C. D.解析选C 先摸出1个白球后放回,再摸出1个白球的概率,实质上就是第二次摸到白球的概率,因为袋内装有2个白球和3个黑球,因此概率为.3.xx·天津卷有5支彩笔除颜色外无差别,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.B.C.D.解析选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫,共10种,其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫,共4种,所以所求概率P==.故选C.4.教材习题改编同时掷两个骰子,向上点数不相同的概率为________.解析1-=.答案基本事件与古典概型的判断[明技法]一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.[提能力]【典例1】有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字
1、
2、
3、4,下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验用x,y表示结果,其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出1试验的基本事件;2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件;3事件“出现点数相等”包含的基本事件.解1这个试验的基本事件为11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44.2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为13,14,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44.3事件“出现点数相等”包含的基本事件为11,22,33,44.【典例2】袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.1有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?2若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?解1由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.2由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为A“摸到白球”,B“摸到黑球”,C“摸到红球”,又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为,而白球有5个,故一次摸球摸到白球的可能性为,同理可知摸到黑球、红球的可能性均为,显然这三个基本事件出现的可能性不相等,所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.[刷好题]1.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.1试问一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;2若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.解1一共有8种不同的结果,列举如下红,红,红、红,红,黑、红,黑,红、红,黑,黑、黑,红,红、黑,红,黑、黑,黑,红、黑,黑,黑.2记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A包含的基本事件为红,红,黑、红,黑,红、黑,红,红,事件A包含的基本事件数为3.由1可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为PA=.2.下列试验中,古典概型的个数为
①向上抛一枚质地不均匀的硬币,观察正面向上的概率;
②向正方形ABCD内,任意抛掷一点P,点P恰与点C重合;
③从1234四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率;
④在线段
[05]上任取一点,求此点小于2的概率.A.0 B.1 C.2 D.3解析选B
①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件,所以不是古典概型;
②④的基本事件都不是有限个,不是古典概型;
③符合古典概型的特点,是古典概型.简单的古典概型的概率[明技法]求古典概型概率的基本步骤—↓—↓—[提能力]【典例】1xx·全国卷Ⅱ从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.B.C.D.解析选D 从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,∴所求概率P==.故选D.2xx·全国卷Ⅲ小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是12345中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A. B. C. D.解析选C 第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是12345中的一个数字,所以总的基本事件的个数为15,密码正确只有一种,概率为,故选C.[刷好题]如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从12345中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 A.B.C.D.解析选C 从12345中任取3个数有10个基本事件,构成勾股数的只有345一组,故概率为.古典概型的交汇问题[析考情]古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题,命题点新颖,考查知识全面,能力要求较高.[提能力]命题点1古典概型与平面向量相结合【典例1】已知向量a=x,-1,b=3,y,其中x随机选自集合{-113},y随机选自集合{139}.1求a∥b的概率;2求a⊥b的概率.解由题意,得x,y所有的基本事件为-11,-13,-19,11,13,19,31,33,39,共9个.1设“a∥b”为事件A,则xy=-3.事件A包含的基本事件有-13,共1个.故a∥b的概率为PA=.2设“a⊥b”为事件B,则y=3x.事件B包含的基本事件有13,39,共2个.故a⊥b的概率为PB=.命题点2古典概型与直线、圆相结合【典例2】xx·洛阳统考将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆x-22+y2=2有公共点的概率为________.解析依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组a,b有11,12,13,…,66,共36种,其中满足直线ax+by=0与圆x-22+y2=2有公共点,即满足≤,a2≤b2的数组a,b有11,12,13,14,…,66,共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于=.答案命题点3古典概型与函数相结合【典例3】xx·成都高三月考将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m,n,则函数y=mx3-nx+1在[1,+∞上为增函数的概率是 A.B.C.D.解析选B ∵y=mx3-nx+1,∴y′=2mx2-n,令y′=0得x=±,∴x1=,x2=-是函数的两个极值点,∴函数在上是增函数,则≤1,即n≤2m.通过建立关于m,n的直角坐标系可得出满足n≤2m的点有30个,由古典概型公式可得函数y=mx3-nx+1在[1,+∞上为增函数的概率是P==.命题点4古典概型与统计相结合【典例4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为[4050,[5060,…,[8090,
[90100].1求频率分布直方图中a的值;2估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;3从评分在[4060的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[4050的概率.解1因为
0.004+a+
0.018+
0.022×2+
0.028×10=1,所以a=
0.006.2由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为
0.022+
0.018×10=
0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
0.4.3受访职工中评分在[5060的有50×
0.006×10=3人,记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[4050的有50×
0.004×10=2人,记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.又因为所抽取2人的评分都在[4050的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为.[悟技法]解决古典概型交汇命题的关注点解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.[刷好题]1.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=m,n,q=36.则向量p与q共线的概率为 A. B. C. D.解析选D 由题意可得基本事件m,nm,n=12,…,6的个数为6×6=36.若p∥q,则6m-3n=0,得到n=2m.满足此条件的共有12,24,36三个基本事件.因此向量p与q共线的概率为P==.2.若连续抛掷两次质地均匀的骰子得到的点数分别为m,n,则点Pm,n在直线x+y=4上的概率是 A.B.C.D.解析选D 该试验会出现6×6=36种情况,点m,n在直线x+y=4上的情况有13,22,31共三种,则所求概率P==.3.设a∈{1234},b∈{24812},则函数fx=x3+ax-b在区间
[12]上有零点的概率为 A.B.C.D.解析选C ∵fx=x3+ax-b,∴f′x=3x2+a,∵a∈{1234},∴f′x0,∴函数fx在区间
[12]上为增函数.若存在零点,只需满足条件则解得a+1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间
[12]上有零点的有a=12≤b≤10,故b=2,b=4,b=8;a=23≤b≤12,故b=4,b=8,b=12;a=34≤b≤14,故b=4,b=8,b=12;a=45≤b≤16,故b=8,b=
12.根据古典概型可得有零点的概率为.。