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2019-2020年高考总复习文数(北师大版)讲义第2章第03节函数的奇偶性与周期性Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养函数的奇偶性xx·全国卷Ⅱ·T14·5分求函数值数学运算xx·全国卷Ⅰ·T5·5分 判断函数的奇偶性逻辑推理 数学运算xx·全国卷Ⅱ·T3·5分 求函数值函数的周期未单独考查命题分析函数的奇偶性的判断及应用、周期性及应用是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,与函数概念、图像、其他性质等综合考查. 类别定义 奇函数偶函数图像定义图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数语言定义任意x∈A,满足f-x=-fx任意x∈A,满足f-x=fx2函数周期性的重要结论
①周期函数的定义式fx+T=fx对定义域内的x是恒成立的,若fx+a=fx+b,则函数fx的周期为T=|a-b|.若在定义域内满足fx+a=-fx,fx+a=,fx+a=-a0.则fx为周期函数,且T=2a为它的一个周期.
②对称性与周期的关系a.若函数fx的图像关于直线x=a和直线x=b对称,则函数fx必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.b.若函数fx的图像关于点a0和点b0对称,则函数fx必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.c.若函数fx的图像关于点a0和直线x=b对称,则函数fx必为周期函数,4|a-b|是它的一个周期.1.判断下列结论的正误正确的打“√”,错误的打“×”1若fx是定义在R上的奇函数,则f-x+fx=
0. 2偶函数的图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点. 3定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 4若T是函数的一个周期,则nTn∈Z,n≠0也是函数的周期. 5函数fx在定义域上满足fx+a=-fx,则fx是周期为2aa0的周期函数. 答案1√ 2× 3√ 4√ 5√2.教材习题改编若函数fx=ax2+bx+c是定义在R上的奇函数,则系数a,b,c需满足 A.a=0 B.c=0C.a=c=0D.b=0解析选C 当a=c=0时,fx=bx,有f-x=-bx=-fx.3.已知fx=ax2+bx是定义在[a-12a]上的偶函数,那么a+b的值是 A.-B.C.D.-解析选B 依题意b=0,且2a=-a-1,∴a=,则a+b=.4.下列函数中为偶函数的是 A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2x解析选B 选项A,f-x=-x2sin-x=-x2sinx=-fx,所以为奇函数;选项B,f-x=-x2cos-x=x2cosx=fx,所以为偶函数;选项C,f-x=|ln-x|,f-x≠fx,f-x≠-fx,所以非奇非偶函数;选项D非奇非偶函数. 判断函数的奇偶性[明技法]判断函数奇偶性的常用方法1定义法即根据奇、偶函数的定义来判断;2图像法即利用奇、偶函数的对称性来判断;3性质法即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断.[提能力]【典例】1xx·肇庆模拟下列函数为偶函数的是 A.y=sinx B.y=ln-xC.y=exD.y=ln2xx·全国卷Ⅰ设函数fx,gx的定义域为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,则下列结论中正确的是 A.fxgx是偶函数B.|fx|gx是奇函数C.fx|gx|是奇函数D.|fxgx|是奇函数解析1选D 由函数奇偶性的定义知D项为偶函数.2选C fx为奇函数,gx为偶函数,故fxgx为奇函数,|fx|gx为偶函数,fx|gx|为奇函数,|fxgx|为偶函数,故选C.[刷好题]1.金榜原创下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞上递增的函数为 A.y=x3B.y=|log2x|C.y=-x2D.y=|x|解析选D y=x3是奇函数;函数y=|log2x|的定义域0,+∞不关于原点对称,所以是非奇非偶函数;y=-x2在0,+∞上单调递减;函数y=|x|是偶函数,且在区间0,+∞上递增,∴D正确.2.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 A.y=-B.y=x3+3x-3-xC.y=log3xD.y=ex解析选B 选项A,y=-的定义域为-∞,0∪0,+∞,但其在定义域上不是单调递增函数;选项B,y=fx=x3+3x-3-x在其定义域R上是增函数,又f-x=-x3+3-x-3x=-x3+3x-3-x=-fx,所以y=fx为奇函数;选项C,y=log3x的定义域为0,+∞,是增函数但不是奇函数;选项D,y=ex在其定义域R上是增函数,但为非奇非偶函数. 函数的周期性[明技法]函数周期性的判定与应用1判断函数的周期只需证明fx+T=fxT≠0便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.2根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论若T是函数的周期,则kTk∈Z且k≠0也是函数的周期.[提能力]【典例】定义在R上的函数fx满足fx+6=fx.当-3≤x-1时,fx=-x+22;当-1≤x3时,fx=x.则f1+f2+f3+…+f2018= A.335B.338C.339D.340解析选C 由fx+6=fx可知,函数fx的周期为6,所以f-3=f3=-1,f-2=f4=0,f-1=f5=-1,f0=f6=0,f1=1,f2=2,所以在一个周期内有f1+f2+…+f6=1+2-1+0-1+0=1,所以f1+f2+…+f2018=f1+f2+336×1=1+2+336=
339.[母题变式]本例中若将条件“fx满足fx+6=fx”改为“fx满足fx+3=-fx”,其他条件不变,则结果又是什么?解∵fx+3=-fx,∴fx+6=-fx+3=fx.∴fx的最小正周期为
6.∴f-3=f3=-1,f-2=f4=0,f-1=f5=-1,f0=f6=0,f1=1,f2=2,故在一个周期内有f1+f2+…+f6=1+2-1+0-1+0=1,∴f1+f2+…+f2018=f1+f2+336×1=1+2+336=
339.[刷好题]xx·阜阳检测设定义在R上的函数fx满足fx+2=fx,且当x∈[02时,fx=2x-x2,则f0+f1+f2+…+f2019=________.解析∵fx+2=fx,∴函数fx的周期T=
2.又当x∈[02时,fx=2x-x2,∴f0=0,f1=1,∴f0=f2=f4=…=f2018=0,f1=f3=f5=…=f2019=
1.故f0+f1+f2+…+f2019=
1010.答案1010 函数性质的综合[析考情]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.[提能力]命题点1已知函数的奇偶性求参数【典例1】xx·全国卷Ⅰ若函数fx=xlnx+为偶函数,则a=________.解析由题意得fx=xlnx+=f-x=-xln-x,所以+x=,解得a=
1.答案1命题点2利用函数的奇偶性求值【典例2】xx·全国卷Ⅱ已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x∈-∞,0时,fx=2x3+x2,则f2=________.解析方法一 令x0,则-x
0.∴f-x=-2x3+x
2.∵函数fx是定义在R上的奇函数,∴f-x=-fx.∴fx=2x3-x2x0.∴f2=2×23-22=
12.方法二 f2=-f-2=-[2×-23+-22]=
12.答案12命题点3利用函数性质解不等式【典例3】已知函数y=fx是R上的偶函数,且在-∞,0]上是减函数,若fa≥f2,则实数a的取值范围是________.解析∵y=fx是R上的偶函数,且在-∞,0]上是减函数,∴函数y=fx在[0,+∞上是增函数.∴当a0时,由fa≥f2可得a≥2,当a0时,由fa≥f2=f-2,可得a≤-
2.所以实数a的取值范围是-∞,-2]∪[2,+∞.答案-∞,-2]∪[2,+∞命题点4函数单调性、奇偶性与周期性的综合【典例4】xx·烟台月考已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且在区间
[02]上是增函数,则 A.f-25<f11<f80B.f80<f11<f-25C.f11<f80<f-25D.f-25<f80f11解析选D ∵fx满足fx-4=-fx,∴fx-8=fx,∴函数fx是以8为周期的周期函数,则f-25=f-1,f80=f0,f11=f3.由fx是定义在R上的奇函数,且满足fx-4=-fx,得f11=f3=-f-1=f1.∵fx在区间
[02]上是增函数,fx在R上是奇函数,∴fx在区间[-22]上是增函数,∴f-1<f0<f1,即f-25<f80<f11.[悟技法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图像的对称性.2周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.[刷好题]1.设fx是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=2x1-x,则f= A.-B.-C.D.解析选A 由题意得f=f=f=-f=-.2.xx·哈尔滨质检定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈[0,+∞x1≠x2,有0,则 A.f3f-2f1B.f1f-2f3C.f-2f1f3D.f3f1f-2解析选A 由题意知fx为偶函数,所以f-2=f2,又x∈[0,+∞时,fx为减函数,且321,∴f3f2f1,即f3f-2f1,故选A.3.xx·承德模拟函数fx是周期为4的偶函数,当x∈
[02]时,fx=x-1,则不等式xfx0在[-13]上的解集为 A.13B.-11C.-10∪13D.-10∪01解析选C fx的图像如图.当x∈-10时,由xfx0得x∈-10;当x∈01时,由xfx>0得x∈∅;当x∈13时,由xfx0得x∈13.故x∈-10∪13.4.若函数fx=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.解析方法一 ∵f-x=fx对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方整理得ax=0对于x∈R恒成立,故a=
0.方法二 由f-1=f1,得|a-1|=|a+1|得a=
0.答案0。