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2019-2020年高考总复习文数(北师大版)讲义第6章第04节数列求和Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养数列求和xx·全国卷Ⅲ·T17·12分求数列的通项公式及前n项和数学运算xx·全国卷Ⅱ·T17·12分求数列的通项公式及前n项和数学运算xx·全国卷Ⅰ·T17·12分求数列的通项公式及前n项和数学运算命题分析本节内容一直是高考的热点,尤其是等差、等比数列的前n项和公式,错位相减法、裂项相消法求和为考查重点,常与函数、方程、不等式等联系综合考查,多以解答题形式出现.5.倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.6.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=-1nfn类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=100+99+98+97+…+2+1=
5050.提醒辨明两个易误点1使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.2在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.1.判断下列结论的正误正确的打“√”,错误的打“×”1如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n项和时使用公式Sn=较为合理. 2如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=. 3求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得. 4如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSkm,k为大于1的正整数. 答案1√ 2√ 3× 4√2.教材习题改编一个球从100m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是 A.100+200×1-2-9 B.100+1001-2-9C.2001-2-9 D.1001-2-9解析选A 从第1次着地后开始,每次着地所经过的路程构成一个公比q=的等比数列.所以经过的路程S=100+2=100+200×1-2-9.3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为________.解析Sn=+=2n+1-2+n
2.答案2n+1+n2-24.已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n·2n,则Sn=________.解析Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,
①所以2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
②①-
②得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,所以Sn=n-12n+1+
2.答案n-12n+1+2分组转化法求和[明技法]分组转化法求和的常见类型1若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{an}的前n项和;2通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.[提能力]【典例】xx·唐山检测已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b
4.1求{an}的通项公式;2设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.解1等比数列{bn}的公比为q,则q===3,所以b1==1,b4=b3q=
27.所以bn=3n-1n=123,….设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=
2.所以an=2n-1n=123,….2由1知,an=2n-1,bn=3n-
1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-
1.从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+2n-1+1+3+…+3n-1=+=n2+.[刷好题]已知数列{an},{bn}满足a1=5,an=2an-1+3n-1n≥2,n∈N+,bn=an-3nn∈N+.1求数列{bn}的通项公式;2求数列{an}的前n项和Sn.解1∵an=2an-1+3n-1n∈N+,n≥2,∴an-3n=2an-1-3n-1,∴bn=2bn-1n∈N+,n≥2.∵b1=a1-3=2≠0,∴bn≠0n≥2,∴=2,∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴bn=2·2n-1=2n.21知an=bn+3n=2n+3n,∴Sn=2+22+…+2n+3+32+…+3n=+=2n+1+-.错位相减法求和[明技法]错位相减法求和策略1如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解.2在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.3在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.[提能力]【典例】xx·太原模拟已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=
7.1求{an}和{bn}的通项公式;2设cn=anbn,n∈N+,求数列{cn}的前n项和.解1设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意知q
0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0,解得q2=
4.又因为q0,所以q=2,所以d=
2.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N+;数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N+.2由1有cn=2n-1·2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×20+3×21+5×22+…+2n-3×2n-2+2n-1×2n-1,2Sn=1×21+3×22+5×23+…+2n-3×2n-1+2n-1×2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-2n-1×2n=2n+1-3-2n-1·2n=-2n-3·2n-3,所以,Sn=2n-3·2n+3,n∈N+.[母题变式]若cn=,如何求解?解∵an=2n-1,n∈N+,bn=2n-1,n∈N+.∴cn=.设数列{cn}的前n项和为Sn,则Sn=c1+c2+c3+…+cn=+++…+Sn=++…++上述两式相减,得Sn=1+2++…+-=1+2×1--=3--=3-.∴Sn=6-,n∈N+.[刷好题]xx·漳州质检已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列.1求数列{an}的通项公式;2若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.解1∵{an-1}是等比数列且a1-1=2,a2-1=4,=2,∴an-1=2·2n-1=2n,∴an=2n+
1.2bn=nan=n·2n+n,故Tn=b1+b2+b3+…+bn=2+2×22+3×23+…+n·2n+1+2+3+…+n.令T=2+2×22+3×23+…+n·2n,则2T=22+2×23+3×24+…+n·2n+1,两式相减,得-T=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,∴T=21-2n+n·2n+1=2+n-1·2n+
1.∵1+2+3+…+n=,∴Tn=n-1·2n+1+.裂项相消法求和[析考情]裂项法求和在高考中经常考查,多以解答题的形式考查,并且往往出现在第二问,难度属中低档.[提能力]命题点1an=型裂项求和【典例1】数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2,数列{bn}是首项为a1,公差为dd≠0的等差数列,且b1,b3,b9成等比数列.1求数列{an}与{bn}的通项公式;2若cn=n∈N+,求数列{cn}的前n项和Tn.解1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n.则b1=a1=
2.由b1,b3,b9成等比数列,得2+2d2=2×2+8d,解得d=0舍去或d=2,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n.2由1得cn===-,所以数列{cn}的前n项和Tn=+++…+=1-+-+…+-=1-=.命题点2形如an=的数列求和【典例2】xx·潍坊模拟正项数列{an}的前n项和Sn满足S-n2+n-1Sn-n2+n=
0.1求数列{an}的通项公式an;2令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明对于任意的n∈N+,都有Tn.1解由S-n2+n-1Sn-n2+n=0,得[Sn-n2+n]Sn+1=
0.由于{an}是正项数列,所以Sn0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12-n-1=2n.又a1=2也满足上式,综上,数列{an}的通项公式为an=2n.2证明由于an=2n,故bn===.Tn===.[悟技法]利用裂项相消法求和的注意事项1裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项,从而达到求和的目的.2消项规律消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.[刷好题]1.xx·福州质检已知函数fx=xa的图像过点42,令an=,n∈N+.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2016= A.-1 B.-1C.-1 D.+1解析选C 由f4=2可得4a=2,解得a=,则fx=x.∴an===-,S2016=a1+a2+a3+…+a2016=-+-+-+…+-+-=-
1.2.xx·沈阳质检已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=
8.1求数列{an}的通项公式;2设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解1由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,可解得或舍去.设等比数列{an}的公比为q,由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn-1=2n-1,n∈N+.2Sn==2n-1,又bn===-,所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=-=1-,n∈N+.。