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2019-2020年高考数学考前30天之备战冲刺押题系列名师预测卷4
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若集合A={x|x>2},B={x|x≤3},则A∩B=▲.答案解析A∩B=2.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是▲.答案π解析y=sin2x+cos2x=2sin2x+60ºÞT=2π/2=π3.已知a+i2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a=▲.答案1解析a+i2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai=2iÞa=14.已知向量a与b的夹角为60º,且|a|=1,|b|=2,那么的值为▲.答案7解析=a2+b2+2ab=a2+b2+2|a||b|cos60º=12+22+2x1x2=75.底面边长为2m,高为1m的正三棱锥的全面积为▲m2.答案解析如图所示,正三棱锥,为顶点在底面内的射影,则为正的垂心,过作于,连接则,且,在中,于是,,所以6.若双曲线的焦点到渐近线的距离为,则实数k的值是▲.答案8解析法一双曲线的渐近线方程为;焦点坐标是由焦点到渐近线的距离为,不妨解得法二可以将问题变为“若椭圆的离心率为,则实数k=”,这时需要增加分类讨论的意思法三结论法:在双曲线中,双曲线的焦点到渐近线的距离为b【在本题中,则b2=k=(2=8】7.若实数x,y满足则z=x+2y的最大值是▲.答案2解析满足题中约束条件的可行域如图所示目标函数取得最大值,即使得函数在轴上的截距最大结合可行域范围知,当其过点时,8.对于定义在R上的函数fx,给出三个命题
①若,则fx为偶函数;
②若,则fx不是偶函数;
③若,则fx一定不是奇函数.其中正确命题的序号为▲.答案
②解析命题
③学生很容易判为真命题.反例函数是奇函数,且满足.请注意以下问题既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一?答案是否定的,如函数,,等.9.图中是一个算法流程图,则输出的n=▲.答案1110.已知三数x+log272,x+log92,x+log32成等比数列,则公比为▲.答案3解析,本题首先应整体观察出三个对数值之间的关系,并由此选定log32,得出log272=log32,log92=log32,最后通过假设将x用log32表示.11.已知5×5数字方阵中,则=▲.答案-1解析假如题中出现,应注意a15中5为1的倍数.题中方阵是一个迷惑,应排除这一干扰因素.本题的实质就是先定义aij,后求和.应注意两个求和符号∑中的上下标是不一致的,解题应把求和给展开.12.已知函数fx=,x∈,则满足fx0>f的x0的取值范围为▲.答案∪解析法1注意到函数是偶函数故只需考虑区间上的情形.由知函数在单调递增,所以在上的解集为,结合函数是偶函数得原问题中取值范围是.法2,作出函数在上的图象并注意到两函数有交点可得取值范围是.13.甲地与乙地相距250公里.某天小袁从上午7∶50由甲地出发开车前往乙地办事.在上午9∶00,10∶00,11∶00三个时刻,车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶,那么还有1小时到达乙地”.假设导航仪提示语都是正确的,那么在上午11∶00时,小袁距乙地还有▲公里.答案60解析设从出发到上午11时行了公里,则,解得,此时小袁距乙地还有60公里.14.定义在上的函数fx满足
①f2x=cfxc为正常数;
②当2≤x≤4时,fx=1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则c=▲.答案1或2解析由已知可得当时,;当时,;当时,,由题意点共线,据得或2.
二、解答题本大题共6小题,共计90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.本题满分14分某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下组号分组频数频率第一组
80.16第二组
①
0.24第三组15
②第四组
100.20第五组
50.10合计
501.001写出表中
①②位置的数据;2为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第
三、
四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第
三、
四、五各组参加考核人数;3在2的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率.解1
①②位置的数据分别为
12、
0.3;………………………………………………4分2第
三、
四、五组参加考核人数分别为
3、
2、1;…………………………………8分3设上述6人为abcdef其中第四组的两人分别为d,e,则从6人中任取2人的所有情形为{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}共有15种.…………………………………………………………………………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A,则事件A所含的基本事件的种数有9种.…………………………………………………………………………………12分所以,故2人中至少有一名是第四组的概率为.……………14分16.本题满分14分如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中.1若BB1=BC,B1C⊥A1B,证明平面AB1C平面A1BC1;2设D是BC的中点,E是A1C1上的一点,且A1B∥平面B1DE,求的值.解1因为BB1=BC,所以侧面BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1.…………………3分又因为B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B,所以BC1⊥平面A1BC1,…………………5分又B1C平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.……………………………7分2设B1D交BC1于点F,连结EF,则平面A1BC1∩平面B1DE=EF.因为A1B//平面B1DE,A1B平面A1BC1,所以A1B//EF.…………………11分所以=.又因为=,所以=.………………………………………14分17.本题满分14分在△ABC中,a2+c2=2b2,其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边长.1求证B≤;2若,且A为钝角,求A.解1由余弦定理,得.……………………………………3分因,.………………………………………………………6分由0<B<π,得,命题得证.……………………………………………7分2由正弦定理,得.…………………………………………10分因,故=1,于是.……………………………………12分因为A为钝角,所以.所以,不合,舍.解得.…………………14分
(2)其它方法法1同标准答案得到,用降幂公式得到,或,展开再处理,下略.法2由余弦定理得,结合得,,,展开后用降幂公式再合,下略.法3由余弦定理得,结合得,,,下略18.本题满分16分在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆a>b>0的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.1求椭圆的方程;2设A,B,M是椭圆上的三点异于椭圆顶点,且存在锐角θ,使.i求证直线OA与OB的斜率之积为定值;ii求OA2+OB2.解1依题意,得c=1.于是,a=,b=1.……………………………………2分所以所求椭圆的方程为.………………………………………………4分2i设Ax1,y1,Bx2,y2,则
①,
②.又设Mx,y,因,故…………7分因M在椭圆上,故.整理得.将
①②代入上式,并注意,得.所以,为定值.………………………………………………10分ii,故.又,故.所以,OA2+OB2==3.…………………………………………16分19.本题满分16分已知数列{an}满足a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1n≥3,记n≥3.1求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;2设,数列{}的前n项和为Sn,求证nSnn+1.解1方法一当n≥3时,因
①,故
②.……………………………………2分
②-
①,得bn-1-bn-2===1,为常数,所以,数列{bn}为等差数列.…………………………………………………………5分因b1==4,故bn=n+3.……………………………………8分方法二当n≥3时,a1a2…an=1+an+1,a1a2…anan+1=1+an+2,将上两式相除并变形,得.……………………………………2分于是,当n∈N*时,.又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3n∈N*.所以数列{bn}为等差数列,且bn=n+3.………………………………………………8分2方法一因,…………………12分故.所以,………15分即n<Sn<n+1.………………………………………………………………………16分方法二因,故1,.……………………10分=,故,于是.……………………………………16分第2问,为了结果的美观,将Sn放缩范围放得较宽,并且可以改为求不小于Sn的最小正整数或求不大于Sn的最大正整数.本题
(2)的方法二是错误的,请不要采用注意=,故,于是.于是(这一步推理是错误的)20.本题满分16分设函数fx=ax3-a+bx2+bx+c,其中a>0,b,c∈R.1若=0,求函数fx的单调增区间;2求证当0≤x≤1时,||≤.注max{a,b}表示a,b中的最大值解1由=0,得a=b.…………………………………………………………1分故fx=ax3-2ax2+ax+c.由=a3x2-4x+1=0,得x1=,x2=1.…………………………………………2分列表x-∞,,111,+∞+0-0+fx增极大值减极小值增由表可得,函数fx的单调增区间是-∞,及1,+∞.…………………………4分2=3ax2-2a+bx+b=3.
①当时,则在上是单调函数,所以≤≤,或≤≤,且+=a0.所以||≤.………………………………………………………8分
②当,即-a<b<2a,则≤≤.i当-a<b≤时,则0<a+b≤.所以==≥>0.所以||≤.……………………………………………………12分ii当<b<2a时,则<0,即a2+b2-<0.所以=>>0,即>.所以||≤.综上所述当0≤x≤1时,||≤.……………………………16分数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题,请从这4题中选做2小题,每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1几何证明选讲如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,求证∠PDE=∠POC.证明因AE=AC,AB为直径,故∠OAC=∠OAE.……………………………………………………………3分所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC.又∠EAC=∠PDE,所以,∠PDE=∠POC.…………………………………………………………10分B.选修4-2矩阵与变换已知圆C在矩阵对应的变换作用下变为椭圆,求a,b的值.解设为圆C上的任意一点,在矩阵A对应的变换下变为另一个点,则,即…………………………………………………4分又因为点在椭圆上,所以.由已知条件可知,,所以a2=9,b2=4.因为a0,b0,所以a=3,b=2.…………………………………………………10分C.选修4-4坐标系与参数方程在极坐标系中,求经过三点O0,0,A2,,B,的圆的极坐标方程.解设是所求圆上的任意一点,………………………………………………3分则,故所求的圆的极坐标方程为.…………………………………10分注亦正确.D.选修4-5不等式选讲已知x,y,z均为正数.求证.证明因为x,y,z都是为正数,所以.…………………3分同理可得.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得.………10分22.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数,其中a>0.1若在x=1处取得极值,求a的值;2若的最小值为1,求a的取值范围.解1.因在处取得极值,故,解得a=1经检验.……………………4分2,因,故ax+1>0,1+x>0.当a≥2时,在区间上,递增,的最小值为f0=1.当0a2时,由,解得;由,解得.∴fx的单调减区间为,单调增区间为.于是,fx在处取得最小值,不合.综上可知,若fx得最小值为1,则a的取值范围是……………………10分注不检验不扣分.23.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.过抛物线y2=4x上一点A1,2作抛物线的切线,分别交x轴于点B,交y轴于点D,点C异于点A在抛物线上,点E在线段AC上,满足=λ1;点F在线段BC上,满足=λ2,且λ1+λ2=1,线段CD与EF交于点P.1设,求;2当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.解1过点A的切线方程为y=x+1.…………………………………………………1分切线交x轴于点B-1,0,交y轴交于点D0,1,则D是AB的中点.所以.1………………………3分由=1+λ.2同理由=λ1,得=1+λ1,3=λ2,得=1+λ2.4将
2、
3、4式代入1得.因为E、P、F三点共线,所以+=1,再由λ1+λ2=1,解之得λ=.……………………………………………………………6分2由1得CP=2PD,D是AB的中点,所以点P为△ABC的重心.所以,x=,y=.解得x0=3x,y0=3y-2,代入y02=4x0得,3y-22=12x.由于x0≠1,故x≠3.所求轨迹方程为3y-22=12xx≠3.………………………10分。