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一平面直角坐标系[课时作业][A组 基础巩固]1.▱ABCD中三个顶点A,B,C的坐标分别为-12,30,51,则D点的坐标为 A.9,-1 B.-31C.13D.22解析设D点坐标为x,y,根据AC的中点与BD的中点重合,得即故选C.答案C2.将点P-22变换为P′-61的伸缩变换公式为 A.B.C.D.解析因为P-22,P′-61,而-6=-2×31=2×,故故选C.答案C3.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M22的距离,则点P的轨迹是 A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析因为点M22在直线x+y-4=0上,故动点P的轨迹是过点M且垂直于直线x+y-4=0的直线,选A.答案A4.在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为正弦曲线y=sinx在此变换下得到的曲线的方程是 A.y=2sin2xB.y=sin2xC.y=sin2xD.y=sin2x解析由题知∴代入y=sinx得y′=sin2x′.∴y′=sin2x′,即是y=sin2x为所求,故选B.答案B5.给出以下四个命题,其中不正确的一个是 A.点M35经过φ变换后得到点M′的坐标为53B.函数y=2x-12+2经过平移变换φ1后再进行伸缩变换φ2最后得到的函数解析式为y=x2C.若曲线C经过伸缩变换φ变换后得到的曲线方程为x2-y2=1,则曲线C的方程是4x2-9y2=1D.椭圆+=1经过伸缩变换φ变换后得到的图形仍为椭圆,并且焦点一定还在x轴上解析对于A将代入得故M′5,3,正确;对于B y=2x-12+2经φ1变换后得到y=2x2,再将代入得8y′=8x′2即y′=x′2,因此最后所得函数解析式为y=x2正确;对于C将代入x′2-y′2=1得4x2-9y2=1,故变换前方程为4x2-9y2=1也正确.对于D设伸缩变换φ则当λ=4,μ=3时变换后的图形是圆x2+y2=1,当λ=4,μ=1时变换后的图形为椭圆x2+=1,此时焦点在y轴上,故D不正确.答案D6.若曲线C1x2-y2=0与C2x-a2+y2=1的图象有3个交点,则a=________.解析x2-y2=0⇔x+yx-y=0⇔x+y=0或x-y=0,这是两条直线.由题意,要使C1与C2有3个交点,必有如图所示情况由图x-a2+y2=1过原点,则a2=1,即a=±
1.答案±17.△ABC中,B-20,C20,△ABC的周长为10,则点A的轨迹方程为________________.解析∵△ABC的周长为10,∴|AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4,则有|AB|+|AC|=64,∴点A的轨迹为除去两点的椭圆,且2a=62c=
4.∴a=3,c=2,b2=
5.∴点A的轨迹方程为+=1y≠0.答案+=1y≠08.已知函数fx=+,则fx的最小值为________.解析fx可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点x0到两定点-11和11的距离之和,数形结合可得fx的最小值为
2.答案29.△ABC中,若BC的长度为4,中线AD的长为3,求A点的轨迹方程.解析取B,C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系图略,则D00,B-20,C2,0.设Ax,y为所求轨迹上任意一点,则|AD|=,又|AD|=3,∴=3,即x2+y2=9y≠0.∴A点的轨迹方程为x2+y2=9y≠0.10.求4x2-9y2=1经过伸缩变换后的图形所对应的方程.解析由伸缩变换得将其代入4x2-9y2=1,得4·x′2-9·y′2=
1.整理得x′2-y′2=
1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2-y′2=
1.[B组 能力提升]1.已知两点M-20,N20,点P为坐标平面内的动点,满足||·||-·=0,则动点Px,y的轨迹方程为 A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x解析由题意,得=40,=x+2,y,=x-2,y,由||·||-·=0得4-4x-2=0,整理得y2=-8x.答案B2.在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是 A.B.C.D.解析设则μy=sinλx,即y=sinλx.比较y=3sin2x与y=sinλx,可得=3,λ=2,∴μ=,λ=
2.∴答案B3.把圆x2+y2=16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2+=1,则坐标变换公式是________.解析设变换公式为代入x′2+=1中得λ2x2+=1,即16λ2x2+μ2y2=16,与x2+y2=16比较得所以答案4.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A地正东40km处,则城市B处于危险区内的时间为________h.解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B400,以点B为圆心,30为半径的圆的方程为x-402+y2=302,台风中心移动到圆B内时,城市B处于危险区,台风中心移动的轨迹为直线y=x,与圆B相交于点M,N,点B到直线y=x的距离d==
20.求得|MN|=2=20km,故=1,所以城市B处于危险区的时间为1h.答案15.已知AD,BE,CF分别是△ABC的三边上的高,求证AD,BE,CF相交于一点.证明如图所示,以BC边所在直线为x轴,BC边上的高所在直线AD为y轴,建立直角坐标系.不妨设点的坐标分别为A0,a,Bb0,Cc,0.根据斜率公式得kAB=-,kAC=-,kBC=0,又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程,容易求出三条高所在的直线方程分别为AD x=0,BE cx-ay-bc=0,CF bx-ay-bc=
0.这三个方程显然有公共解x=0,y=-,从而证明了三角形的三条高相交于一点.6.求证过椭圆+=1ab1上一点Px0,y0的切线方程为+=
1.证明证法一 将椭圆+=1ab1上的点x,y按φ变换为+=1,即得圆x′2+y′2=a2,椭圆上的点Px0,y0的对应点为P′x′,y′,即P′在圆x′2+y′2=a2上.可得过圆x′2+y′2=a2上的点P′的切线方程为x0x′+y0y′2=a2,该切线方程按φ变换前的直线方程为x0x+y0·y=a2,即+=1,这就是过椭圆+=1ab1上一点Px0,y0的切线方程.证法二 由椭圆的对称性,只需证明椭圆+=1在x轴上方部分即可,由题意,得y=,y′=-·,所以k=y′|x=x0=-·=-·=-·.由直线的点斜式方程,得切线的方程为y-y0=-·x-x0,即b2x0x+a2y0y=b2x+a2y=a2b2,所以+=1为切线方程.。