还剩3页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高考数学一轮复习考点热身训练
8.6抛物线
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(A)[,](B)[-2,2](C)[-1,1](D)[-4,4]
2.抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M44是抛物线上一点,则经过点F、M且与l相切的圆共有A0个B1个C2个D4个
3.xx•三明模拟若点Pxy为椭圆+y2=1上一点,则x+y的最大值为A1B2C2D
54.(xx·泉州模拟)已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于(A)3(B)4(C)(D)
5.易错题若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为F1F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1e2,则e1·e2的取值范围是(A)0+∞B+∞C+∞D+∞
6.点P在直线l:y=x-1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于AB两点,且|PA|=|AB|,则称点P为“点”,那么下列结论中正确的是A直线l上的所有点都是“点”B直线l上仅有有限个点是“点”C直线l上的所有点都不是“点”D直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=______.
8.若直线AB与抛物线y2=4x交于A、B两点,AB的中点坐标是(4,2),则直线AB的方程是______.
9.(xx·南京模拟)设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为_____.
三、解答题(每小题15分,共30分)
10.预测题已知动圆过定点(2,0),且与直线x=-2相切.1求动圆的圆心轨迹C的方程;2是否存在直线l,使l过点02,并与轨迹C交于P,Q两点,且满足·=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
11.(xx·宁德模拟)在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点(0,)作两条互相垂直的直线l
1、l2分别与曲线C交于A、B和E、D,以线段AB为直径的圆能否过坐标原点?若能,求直线AB的斜率;若不能,说明理由.【探究创新】(16分)如图,ABCD是边长为2的正方形纸片,沿某动直线l将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点B都落在边AD上,记为B′;折痕与AB交于点E,以EB和EB′为邻边作平行四边形EB′MB.若以B为原点,BC所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)1求点M的轨迹方程;2若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的,等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1B1C1C1D1分别与曲线S切于点PQR.求梯形A1B1C1D1面积的最小值.答案解析
1.【解析】选C.设直线方程为y=kx+2,与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=
0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠
0.综上-1≤k≤
1.
2.【解析】选C.由于圆经过焦点F且与准线l相切,由抛物线的定义知圆心在抛物线上,又因为圆经过抛物线上的点M,所以圆心在线段FM的垂直平分线上,即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,结合图形易知有两个交点,因此共有2个满足条件的圆.
3.【解析】选D.设x+y=t即y=t-x.代入+y2=1得+t-x2=
1.整理得x2-2tx+t2-1=
0.Δ=4t2-4×t2-1≥0解得-≤t≤.∴t=x+y的最大值为.
4.【解题指南】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题求解.【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+bAx1y1Bx2y2由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1得AB的中点M(,)又M(,)在直线x+y=0上,可求出b=1∴x2+x-2=0则|AB|=·=.【方法技巧】对称问题求解技巧若A、B两点关于直线l对称,则直线AB与直线l垂直,且线段AB的中点在直线l上,即直线l是线段AB的垂直平分线,求解这类圆锥曲线上的两点关于直线l的对称问题,常转化为过两对称点的直线与圆锥曲线的相交问题求解.
5.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2====;e1====.∵三角形两边之和大于第三边,∴2c+2c>10,即c>,∴e1·e2==>,因此选B.
6.【解题指南】由|PA|=|AB|可得点A为线段PB的中点.【解析】选A.本题用数形结合法易于求解,如图,设Amn,Pxx-1则B2m-x2n-x+1,∵AB在y=x2上,∴消去n整理得x2-4m-1x+2m2-1=
0.
(1)∵Δ=4m-12-42m2-1=8m2-8m+5>0恒成立,∴方程
(1)恒有实数解,∴应选A.
7.【解析】由题意可知过焦点的直线方程为y=x-,联立有⇒x2-3px+=0,又|AB|==8p=2.答案
28.【解析】设A(x1y1,B(x2y2则
②-
①得y22-y12=4(x2-x1∴===1即直线AB的斜率为1,则直线AB的方程为y-2=x-4,即x-y-2=
0.答案:x-y-2=
09.【解题指南】先求出弦长|AB|进而求出点P到直线AB的距离再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0令Δ=0得m=,即平移直线l到y=-2x时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.答案
410.【解析】1如图,设M为动圆圆心,F20,过点M作直线x=-2的垂线,垂足为N,由题意知|MF|=|MN|,即动点M到定点F与到定直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F2,0为焦点,x=-2为准线,所以动圆圆心轨迹C的方程为y2=8x.
(2)由题可设直线l的方程为x=ky-2k≠0,由,得y2-8ky+16k=0Δ=-8k2-4×16k>0解得k<0或k>
1.设Px1y1,Qx2y2,则y1+y2=8k,y1y2=16k,由·=0,得x1x2+y1y2=0,即k2y1-2y2-2+y1y2=0,整理得k2+1y1y2-2k2y1+y2+4k2=0,代入得16kk2+1-2k2·8k+4k2=0,即16k+4k2=0,解得k=-4或k=0舍去,所以直线l存在,其方程为x+4y-8=
0.【误区警示】本题易忽视判别式大于零,从而得出两条直线方程.
11.【解析】
(1)设P(xy),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,),(0,)为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴b==1故曲线C的方程为x2+=
1.2设直线l1y=kx+分别交曲线C于A(x1y1Bx2y2其坐标满足消去y并整理得k2+4x2+-1=0故x1+x2=x1x2=.若以线段AB为直径的圆过坐标原点,则⊥,即x1x2+y1y2=
0.而y1y2=k2x1x2+kx1+x2+3于是x1x2+y1y2==0化简得-4k2+11=0所以k=.【变式备选】已知椭圆C:+=1a>b>0的左焦点为F-10,离心率为,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.1求椭圆C的方程;2设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.【解析】
(1)由题意可知c=1,a2=b2+c2,e==解得a=b=1故椭圆的方程为+y2=
1.2设直线AB的方程为y=kx+1k≠0,联立,得整理得1+2k2x2+4k2x+2k2-2=0∵直线AB过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根,记A(x1y1Bx2y2AB的中点N(x0y0则x1+x2=x0=y0=垂直平分线NG的方程为y-y0=x-x0,令y=0得xG=x0+ky0===∵k≠0∴<xG<
0.∴点G横坐标的取值范围为(,0).【探究创新】【解析】1如图,设M(xy),B′x02显然直线l的斜率存在,故不妨设直线l的方程为y=kx+b即E(0,b)则kBB′==k=而BB′的中点1在直线l上,故·+b=1b=1+,
①由于=+⇒xy-b=0-b+x02-b⇒代入
①即得y=+1,又0≤x0≤2,点M的轨迹方程y=+1(0≤x≤2).2易知曲线S的方程为y=+1-2≤x≤2设梯形A1B1C1D1的面积为s,如图,点P的坐标为t-t2+10<t≤
2.由题意得,点Q的坐标为01,直线B1C1的方程为y=
1.因y=+1,∴y′=,∴y′|x=t=∴直线A1B1的方程为y-=x-t即y=,令y=0,得,x=∴A
10.令y=1得,x=t,∴B1t1,s==≥,当且仅当t=,即t=时取“=”,且∈02]故t=时,s有最小值为.∴梯形A1B1C1D1的面积的最小值为.。