2017-2018学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式优化练习新人教A版选修4-5

3三个正数的算术-几何平均不等式[课时作业][A组　基础巩固]1．设x，y，z0且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是　　A．－∞，lg6]　　　　　B．－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞D．[3lg2，＋∞解析∵lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz，而xyz≤3＝23，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案B2．函数y＝x2·1－5x0≤x≤的最大值为　　A.B.C.D.解析∵0≤x≤，∴1－5x≥0，∴y＝x2·1－5x＝[x·x·1－5x]≤[]3＝.当且仅当x＝1－5x，即x＝时取“＝”，故选A.答案A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是　　A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝

3.V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤π3＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．答案B4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则必有　　A．0≤MB.≤M1C．1≤M8D．M≥8解析M＝·＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c时等号成立．答案D5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是　　A．y＝x2＋2x＋≥3＝6，∴ymin＝6B．y＝2＋x＋≥3＝3，∴ymin＝3C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4D．y＝x1－x1－2x≤[]3＝，∴ymax＝解析A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3a，b，c∈R＋和abc≤3a，b，c∈R＋都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x0，∴y＝2＋x＋＝2＋x＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案C6．若x0，则函数y＝4x2＋的最小值是________．解析∵x0，∴y＝4x2＋＝4x2＋＋≥3＝

3.当且仅当4x2＝x0，即x＝时，取“＝”，∴当x＝时，y＝4x2＋x0的最小值为

3.答案37．若a2，b3，则a＋b＋的最小值为________．解析∵a2，b3，∴a－20，b－30，∴a＋b＋＝a－2＋b－3＋＋5≥3＋5＝3＋5＝8当且仅当a＝3，b＝4时等号成立．答案88．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．解析设底面边长为x，高为h，则x2·h＝V，所以h＝，又S表＝2·x2＋3xh＝x2＋3x·＝x2＋＝＝≥×3＝3×，当且仅当x2＝，即x＝时，S表最小．答案9．已知x，y均为正数，且xy，求证2x＋≥2y＋

3.证明因为x0，y0，x－y0，2x＋－2y＝2x－y＋＝x－y＋x－y＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋

3.10．如图1所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图2所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．解析设正六棱柱容器底面边长为xx0，高为h，由图可有2h＋x＝，∴h＝1－x，V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··1－x＝2××××1－x≤9×3＝.当且仅当＝＝1－x，即x＝时，等号成立．所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.[B组　能力提升]1．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则　　A．x≤y≤zB．y≤x≤zC．y≤z≤xD．z≤y≤x解析∵a，b，c∈R＋，∴≥，∴x≥y，又x2＝，z2＝，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3a2＋3b2＋3c2≥a＋b＋c2，∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.答案B2．若实数x，y满足xy0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是　　A．1B．2C．3D．4解析xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥3＝3＝3＝

3.答案C3．设x∈，则函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________．解析∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8sin2x·sin2x·2cos2x≤83＝8×＝，∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝时，等号成立．∴ymax＝.答案4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析∵a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，∴3a＋2＋3b＋2＋3c＋2＝

9.∴＋＋·[3a＋2＋3b＋2＋3c＋2]≥3··3＝

9.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．即＋＋≥

1.故＋＋的最小值为

1.答案15．设a，b，c为正实数，求证＋＋＋abc≥

2.证明因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立，所以＋＋＋abc≥2当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用不随速度变化为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解析设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时，则依题意有A＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.∴A＝V

3.设每千米的航行费用为R，需时间为小时，∴R＝V3＋480＝V2＋＝V2＋＋≥3＝

36.当且仅当V2＝，即V＝20时取最小值．答轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。