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3.
3.1几何概型[课时作业][A组 学业水平达标]1．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 A. B.C.D.解析如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，由圆的对称性及几何概型得P＝＝.故选C.答案C2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P，则点P恰好取自半圆部分的概率为 A.B.C.D.解析所求概率P＝＝.故选D.答案D3．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A.B.C.D.解析总的时间段长为10min，在车站停1min，∴P＝.答案A4．已知点P，Q为圆C x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为 A.B.C.D.解析PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.答案B5．在区间
[02]上随机地取一个数x，则事件“－1x＋≤1”发生的概率为 A.B.C.D.解析由－1≤x＋≤1得，≤logx＋≤，≤x＋≤20≤x≤，所以由几何概型概率的计算公式得，P＝＝，故选A.答案A6．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.答案7．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________分钟广告．解析这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为，则看到广告的概率约为，故60×＝
6.答案68．已知线段AC＝16cm，先截取AB＝4cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128cm3的概率为________．解析依题意，设长方体的长为xcm，则相应的宽为12－xcm，由4x12－x＞128得x2－12x＋32＜04＜x＜8，因此所求的概率等于＝.答案9．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？1红灯亮；2黄灯亮；3不是红灯亮．解析在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．1P＝＝＝；2P＝＝＝；3P＝＝＝＝.10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使MABCD的体积小于的概率．解析设点M到面ABCD的距离为h，则VMABCD＝S底ABCD·h＝，即h＝.所以只要点M到面ABCD的距离小于时，即满足条件．所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以面ABCD为底，高为的长方体，其体积为.又因为正方体体积为1，所以使四棱锥MABCD的体积小于的概率为P＝＝.[B组 应考能力提升]1．如图所示，在一个边长为a，bab0的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 A.B.C.D.解析两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S矩形＝ab，S梯形＝a＋a·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.答案C2．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为10．且点C与点D在函数fx＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于 A.B.C.D.解析由已知得B10，C12，D－22，F01，则矩形ABCD的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故该点取自阴影部分的概率等于＝.答案B
3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是________．解析将圆心角为90°的扇形等分成三部分当射线OC位于中间一部分时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，∴使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为P＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝，故使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为.答案4．如图所示，墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6cm，4cm，2cm.某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问1投中大圆内的概率是多少？2投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？3投中大圆之外的概率是多少？解析整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D＝16×16＝256cm2．设“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36πcm2；事件B所占区域面积为dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12πcm2；事件C所占区域面积为dC＝D－dA＝256－36πcm2．由几何概型的概率公式，得1PA＝＝＝π，即投中大圆内的概率为π.2PB＝＝＝π，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为π.3PC＝＝＝1－π，即投中大圆之外的概率为1－π.
5.设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝
0.1若a是从0123四个数中任取的一个数，b是从012三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；2若a是从区间
[03]内任取的一个数，b是从区间
[02]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解析设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是2a2－4b2≥0，即a≥b.1基本事件共有12个，分别是00，01，02，10，11，12，20，21，22，30，3，1，32，其中括号内第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为PA＝＝.2试验的全部结果所构成的区域为{a，b|0≤a≤30≤b≤2}，而构成事件A的区域为{a，b|0≤a≤30≤b≤2，a≥b}，即如图所示的阴影部分，所以PA＝＝.。
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