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3.1几何概型[课时作业][A组 学业水平达标]1.如图,A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为 A. B.C.D.解析如图,当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=,由圆的对称性及几何概型得P==.故选C.答案C2.如图所示,以边长为1的正方形ABCD的一边AB为直径在其内部作一半圆.若在正方形中任取一点P,则点P恰好取自半圆部分的概率为 A.B.C.D.解析所求概率P==.故选D.答案D3.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是 A.B.C.D.解析总的时间段长为10min,在车站停1min,∴P=.答案A4.已知点P,Q为圆C x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C内任取一点,则该点落在区域M上的概率为 A.B.C.D.解析PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为=,故选B.答案B5.在区间
[02]上随机地取一个数x,则事件“-1x+≤1”发生的概率为 A.B.C.D.解析由-1≤x+≤1得,≤logx+≤,≤x+≤20≤x≤,所以由几何概型概率的计算公式得,P==,故选A.答案A6.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概率为________.解析如图可设与的长度等于1,则由几何概型可知其整体事件是其周长3,则其概率是.答案7.广告法对插播广告时间有规定,某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率约为,那么该台每小时约有________分钟广告.解析这是一个与时间长度有关的几何概型,这人看不到广告的概率为,则看到广告的概率约为,故60×=
6.答案68.已知线段AC=16cm,先截取AB=4cm作为长方体的高,再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽,则长方体的体积超过128cm3的概率为________.解析依题意,设长方体的长为xcm,则相应的宽为12-xcm,由4x12-x>128得x2-12x+32<04<x<8,因此所求的概率等于=.答案9.一个路口的红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少?1红灯亮;2黄灯亮;3不是红灯亮.解析在75秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型.1P===;2P===;3P====.10.在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为1,在正方体内随机取一点M,求使MABCD的体积小于的概率.解析设点M到面ABCD的距离为h,则VMABCD=S底ABCD·h=,即h=.所以只要点M到面ABCD的距离小于时,即满足条件.所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以面ABCD为底,高为的长方体,其体积为.又因为正方体体积为1,所以使四棱锥MABCD的体积小于的概率为P==.[B组 应考能力提升]1.如图所示,在一个边长为a,bab0的矩形内画一个梯形,梯形上、下底长分别为与,高为b.向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为 A.B.C.D.解析两“几何度量”即为两面积,直接套用几何概型的概率公式.S矩形=ab,S梯形=a+a·b=ab,所以所投的点落在梯形内部的概率为==.答案C2.如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为10.且点C与点D在函数fx=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于 A.B.C.D.解析由已知得B10,C12,D-22,F01,则矩形ABCD的面积为3×2=6,阴影部分的面积为×3×1=,故该点取自阴影部分的概率等于=.答案B
3.如图,在圆心角为90°的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是________.解析将圆心角为90°的扇形等分成三部分当射线OC位于中间一部分时,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°,∴使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为P=中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小=30°÷90°=,故使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为.答案4.如图所示,墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了大、中、小三个同心圆,半径分别为6cm,4cm,2cm.某人站在3m之外向此板投镖,设投镖击中线上或没有击中木板时都不算,可重投,问1投中大圆内的概率是多少?2投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?3投中大圆之外的概率是多少?解析整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积D=16×16=256cm2.设“投中大圆内”为事件A,“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B,“投中大圆之外”为事件C,则事件A所占区域面积为dA=π×62=36πcm2;事件B所占区域面积为dB=π×42-π×22=16π-4π=12πcm2;事件C所占区域面积为dC=D-dA=256-36πcm2.由几何概型的概率公式,得1PA===π,即投中大圆内的概率为π.2PB===π,即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为π.3PC===1-π,即投中大圆之外的概率为1-π.
5.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=
0.1若a是从0123四个数中任取的一个数,b是从012三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;2若a是从区间
[03]内任取的一个数,b是从区间
[02]内任取的一个数,求上述方程有实根的概率.解析设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是2a2-4b2≥0,即a≥b.1基本事件共有12个,分别是00,01,02,10,11,12,20,21,22,30,3,1,32,其中括号内第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,故事件A发生的概率为PA==.2试验的全部结果所构成的区域为{a,b|0≤a≤30≤b≤2},而构成事件A的区域为{a,b|0≤a≤30≤b≤2,a≥b},即如图所示的阴影部分,所以PA==.。