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二第二课时双曲线、抛物线的参数方程[课时作业][A组 基础巩固]1．若点P3，m在以点F为焦点的抛物线t为参数上，则|PF|等于 A．2B．3C．4D．5解析抛物线方程化为普通方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，所以|PF|为P3，m到准线x＝－1的距离，即为
4.故选C.答案C2．方程t为参数的图形是 A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－e2t－2＋e－2t＝
4.且x＝et＋e－t≥2＝
2.∴表示双曲线的右支．答案B3．点P10到曲线其中，参数t∈R上的点的最短距离是 A．0B．1C.D．2解析方程表示抛物线y2＝4x的参数方程，其中p＝2，设点Mx，y是抛物线上任意一点，则点Mx，y到点P10的距离d＝＝＝|x＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.答案B4．若曲线C的参数方程为θ为参数，则曲线C上的点的轨迹是 A．直线x＋2y－2＝0B．以20为端点的射线C．圆x－12＋y2＝1D．以20和01为端点的线段解析将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝00≤x≤20≤y≤1．答案D5．已知某条曲线的参数方程为其中a是参数，则该曲线是 A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部分解析将所给参数方程的两式平方后相减，得x2－y2＝
1.并且由|x|＝≥1，得x≥1或x≤－1，从而易知结果．答案C6．已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋2·ysin＝0θ为参数，则圆心的轨迹方程是________．解析圆心轨迹的参数方程为即消去参数得y2＝1＋2x－≤x≤．答案y2＝1＋2x－≤x≤7．已知抛物线C的参数方程为t为参数．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆x－42＋y2＝r2r0相切，则r＝________.解析由得y2＝8x，抛物线C的焦点坐标为F20，直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝
0.因为直线y＝x－2与圆x－42＋y2＝r2相切，由题意得r＝＝.答案8．曲线α为参数与曲线β为参数的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为________．解析曲线α为参数的离心率e1＝，曲线β为参数的离心率e2＝，∴e1＋e2＝≥＝
2.当且仅当a＝b时取等号，所以最小值为
2.答案29．已知抛物线t为参数，p＞0上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两点间的距离．解析由题知M，N两点的坐标分别为2pt，2pt1，2pt，2pt2，所以|MN|＝＝＝2p|t1－t2|＝2p＝4p
2.故M，N两点间的距离为4p
2.
10.如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y2＝2pxp＞0上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，A，B在什么位置时△AOB的面积最小？最小值是多少？解析根据题意，设点A，B的坐标分别为A2pt，2pt1，B2pt，2pt2t1≠t2，且t1t2≠0，则|OA|＝＝2p|t1|，|OB|＝＝2p|t2|.因为OA⊥OB，所以·＝0，即2pt·2pt＋2pt1·2pt2＝0，所以t1·t2＝－
1.又因△AOB的面积为S△AOB＝|OA|·|OB|＝·2p|t1|·2p|t2|＝2p2|t1t2|＝2p2＝2p2≥2p2＝4p
2.当且仅当t＝，即t1＝1，t2＝－1或t1＝－1，t2＝1时，等号成立．所以A，B的坐标分别为2p2p，2p，－2p或2p，－2p，2p2p时，△AOB的面积最小，最小值为4p
2.[B组 能力提升]1．P为双曲线θ为参数上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是 A．9x2－16y2＝16y≠0B．9x2＋16y2＝16y≠0C．9x2－16y2＝1y≠0D．9x2＋16y2＝1y≠0解析由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1－50，F250，设P4secθ，3tanθ，重心Mx，y，则x＝＝secθ，y＝＝tanθ.从而有9x2－16y2＝16y≠0．答案A2．参数方程0＜θ＜2π表示 A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过点C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过点解析∵x2＝cos＋sin2＝1＋sinθ＝2y，∴方程x2＝2y表示抛物线．又∵x＝＝，且0＜θ＜2π，∴0≤x≤，故选B.答案B3．抛物线，关于直线x＋y－2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．解析抛物线的普通方程为y2＝x，是以x轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x＋y－2＝0对称时，其顶点变为22，对称轴相应变为x＝2，且开口方向向下，所以焦点变为，即.答案4．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为φ为参数，a＞b＞0．在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝mm为非零常数与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．解析先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a，b，c的等式，再结合a2＝b2＋c2求得离心率．由已知可得椭圆标准方程为＋＝1a＞b＞0．由ρsin＝m可得ρsinθ＋ρcosθ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m，又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点c0，可得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2a2－c2，整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.答案
5.如图，自双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线l x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．解析设点Q的坐标为secφ，tanφ，φ为参数．∵QN⊥l，∴可设直线QN的方程为x－y＝λ.
①将点Q的坐标代入
①得λ＝secφ－tanφ.所以线段QN的方程为x－y＝secφ－tanφ.
②又直线l的方程为x＋y＝
2.
③由
②③解得点N的横坐标xN＝.设线段QN中点P的坐标为x，y，则x＝＝，
④4×
④－
②得3x＋y－2＝2secφ.
⑤4×
④－3×
②得x＋3y－2＝2tanφ.
⑥⑤2－
⑥2化简即得所求的轨迹方程为2x2－2y2－2x＋2y－1＝
0.6．已知曲线C的方程为1当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？2当θ为不等于k∈Z的常数，t为参数时，C是什么曲线？3两曲线有何共同特征？解析1将原参数方程记为
①，将参数方程
①化为平方相加消去θ，得＋＝
1.
②因为et＋e－t2＞et－e－t2＞0，故方程
②的曲线为椭圆，即C为椭圆．2将方程
①化为平方相减消去t，得－＝
1.
③所以方程
③的曲线为双曲线，即C为双曲线．3在方程
②中2－2＝1，则c＝1，椭圆
②的焦点坐标为－10，10，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．。
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