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二第二课时双曲线、抛物线的参数方程[课时作业][A组 基础巩固]1.若点P3,m在以点F为焦点的抛物线t为参数上,则|PF|等于 A.2B.3C.4D.5解析抛物线方程化为普通方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以|PF|为P3,m到准线x=-1的距离,即为
4.故选C.答案C2.方程t为参数的图形是 A.双曲线左支B.双曲线右支C.双曲线上支D.双曲线下支解析∵x2-y2=e2t+2+e-2t-e2t-2+e-2t=
4.且x=et+e-t≥2=
2.∴表示双曲线的右支.答案B3.点P10到曲线其中,参数t∈R上的点的最短距离是 A.0B.1C.D.2解析方程表示抛物线y2=4x的参数方程,其中p=2,设点Mx,y是抛物线上任意一点,则点Mx,y到点P10的距离d===|x+1|≥1,所以最短距离为1,选B.答案B4.若曲线C的参数方程为θ为参数,则曲线C上的点的轨迹是 A.直线x+2y-2=0B.以20为端点的射线C.圆x-12+y2=1D.以20和01为端点的线段解析将曲线的参数方程化为普通方程得x+2y-2=00≤x≤20≤y≤1.答案D5.已知某条曲线的参数方程为其中a是参数,则该曲线是 A.线段B.圆C.双曲线D.圆的一部分解析将所给参数方程的两式平方后相减,得x2-y2=
1.并且由|x|=≥1,得x≥1或x≤-1,从而易知结果.答案C6.已知动圆方程x2+y2-xsin2θ+2·ysin=0θ为参数,则圆心的轨迹方程是________.解析圆心轨迹的参数方程为即消去参数得y2=1+2x-≤x≤.答案y2=1+2x-≤x≤7.已知抛物线C的参数方程为t为参数.若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆x-42+y2=r2r0相切,则r=________.解析由得y2=8x,抛物线C的焦点坐标为F20,直线方程为y=x-2,即x-y-2=
0.因为直线y=x-2与圆x-42+y2=r2相切,由题意得r==.答案8.曲线α为参数与曲线β为参数的离心率分别为e1和e2,则e1+e2的最小值为________.解析曲线α为参数的离心率e1=,曲线β为参数的离心率e2=,∴e1+e2=≥=
2.当且仅当a=b时取等号,所以最小值为
2.答案29.已知抛物线t为参数,p>0上的点M,N对应的参数值为t1,t2,且t1+t2=0,t1t2=-p2,求M,N两点间的距离.解析由题知M,N两点的坐标分别为2pt,2pt1,2pt,2pt2,所以|MN|===2p|t1-t2|=2p=4p
2.故M,N两点间的距离为4p
2.
10.如图所示,O是直角坐标系的原点,A,B是抛物线y2=2pxp>0上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,A,B在什么位置时△AOB的面积最小?最小值是多少?解析根据题意,设点A,B的坐标分别为A2pt,2pt1,B2pt,2pt2t1≠t2,且t1t2≠0,则|OA|==2p|t1|,|OB|==2p|t2|.因为OA⊥OB,所以·=0,即2pt·2pt+2pt1·2pt2=0,所以t1·t2=-
1.又因△AOB的面积为S△AOB=|OA|·|OB|=·2p|t1|·2p|t2|=2p2|t1t2|=2p2=2p2≥2p2=4p
2.当且仅当t=,即t1=1,t2=-1或t1=-1,t2=1时,等号成立.所以A,B的坐标分别为2p2p,2p,-2p或2p,-2p,2p2p时,△AOB的面积最小,最小值为4p
2.[B组 能力提升]1.P为双曲线θ为参数上任意一点,F1,F2为其两个焦点,则△F1PF2重心的轨迹方程是 A.9x2-16y2=16y≠0B.9x2+16y2=16y≠0C.9x2-16y2=1y≠0D.9x2+16y2=1y≠0解析由题意知a=4,b=3,可得c=5,故F1-50,F250,设P4secθ,3tanθ,重心Mx,y,则x==secθ,y==tanθ.从而有9x2-16y2=16y≠0.答案A2.参数方程0<θ<2π表示 A.双曲线的一支,这支过点B.抛物线的一部分,这部分过点C.双曲线的一支,这支过点D.抛物线的一部分,这部分过点解析∵x2=cos+sin2=1+sinθ=2y,∴方程x2=2y表示抛物线.又∵x==,且0<θ<2π,∴0≤x≤,故选B.答案B3.抛物线,关于直线x+y-2=0对称的曲线的焦点坐标是________.解析抛物线的普通方程为y2=x,是以x轴为对称轴,顶点在原点,开口向右的抛物线,当关于直线x+y-2=0对称时,其顶点变为22,对称轴相应变为x=2,且开口方向向下,所以焦点变为,即.答案4.在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为φ为参数,a>b>0.在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin=mm为非零常数与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________.解析先将参数方程与极坐标方程化为普通方程,再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a,b,c的等式,再结合a2=b2+c2求得离心率.由已知可得椭圆标准方程为+=1a>b>0.由ρsin=m可得ρsinθ+ρcosθ=m,即直线的普通方程为x+y=m,又圆的普通方程为x2+y2=b2,不妨设直线l经过椭圆C的右焦点c0,可得c=m.又因为直线l与圆O相切,所以=b,因此c=b,即c2=2a2-c2,整理,得=,故椭圆C的离心率为e=.答案
5.如图,自双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线l x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN中点P的轨迹方程.解析设点Q的坐标为secφ,tanφ,φ为参数.∵QN⊥l,∴可设直线QN的方程为x-y=λ.
①将点Q的坐标代入
①得λ=secφ-tanφ.所以线段QN的方程为x-y=secφ-tanφ.
②又直线l的方程为x+y=
2.
③由
②③解得点N的横坐标xN=.设线段QN中点P的坐标为x,y,则x==,
④4×
④-
②得3x+y-2=2secφ.
⑤4×
④-3×
②得x+3y-2=2tanφ.
⑥⑤2-
⑥2化简即得所求的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y-1=
0.6.已知曲线C的方程为1当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?2当θ为不等于k∈Z的常数,t为参数时,C是什么曲线?3两曲线有何共同特征?解析1将原参数方程记为
①,将参数方程
①化为平方相加消去θ,得+=
1.
②因为et+e-t2>et-e-t2>0,故方程
②的曲线为椭圆,即C为椭圆.2将方程
①化为平方相减消去t,得-=
1.
③所以方程
③的曲线为双曲线,即C为双曲线.3在方程
②中2-2=1,则c=1,椭圆
②的焦点坐标为-10,10,因此椭圆和双曲线有共同的焦点.。