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3.4基本不等式[课时作业][A组 基础巩固]1．下列不等式正确的是 A．a＋≥2 B．－a＋≤－2C．a2＋≥2D．－a2＋2≤－2解析因为a2＋中a20，所以≥，即≥1，所以a2＋≥
2.答案C2．已知m＝a＋＋1a0，n＝3xx1，则m，n之间的大小关系是 A．mnB．mnC．m＝nD．m≤n解析因为a0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x1，所以n＝3x31＝3，所以mn.答案A3．已知0x1，则x3－3x取得最大值时x的值为 A.B.C.D.解析由x3－3x＝×3x3－3x≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．答案B4．已知fx＝x＋－2x0，则fx有 A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析∵x0，∴fx＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．答案C5．下列不等式中正确的是 A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC.≥D．x2＋≥2解析a0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b24ab，故B错，a＝4，b＝16，则，故C错；由基本不等式可知D项正确．答案D6．已知abc，则与的大小关系是________．解析因为a－b0，b－c0，a－c
0.所以≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．所以≤.答案≤7．当x时，函数y＝x＋的最小值为________．解析设t＝2x－1，∵x，∴2x－10，即t0，∴y＝＋＝＋＋≥2＋＝.当且仅当＝，即t＝4，x＝时，取等号．答案8．若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．解析1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．答案9．已知不等式ax2－3x＋20的解集为A＝{x|1xb}．1求a，b的值；2求函数fx＝2a＋bx＋x∈A的最小值．解析1由题意知，1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，且b1，∴解得2由1得fx＝2×1＋2x＋＝4x＋＝4x＋1＋－4≥2－4＝
16.当且仅当4x＋1＝，即x＝∈A时等号成立．∴函数fx的最小值为
16.10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．1写出4辆车运营的总利润y万元与运营年数xx∈N*的函数关系式；2这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解析1依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200＋16×1＋2＋…＋x＝200＋xx＋1·16万元．∴y＝4＝16－2x2＋23x－50．2年平均利润为＝16＝
16.又x∈N*，∴x＋≥2＝10，当且仅当x＝5时，等号成立，此时≤16×23－20＝
48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．[B组 能力提升]1．若－4x1，则fx＝ A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1D．有最大值－1解析fx＝＝，又∵－4x1，∴x－
10.∴－x－
10.∴fx＝－≤－
1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．答案D2．设fx＝lnx0ab，若p＝f，q＝f，r＝fa＋fb，则下列关系式中正确的是 A．q＝rpB．q＝rpC．p＝rqD．p＝rq解析p＝f＝ln，q＝f＝ln，r＝fa＋fb＝lnab＝ln，函数fx＝lnx在0，＋∞上单调递增，因为，所以ff，所以qp＝r.答案C3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈a，＋∞上恒成立，则实数a的最小值为________．解析因为x＞a，所以2x＋＝2x－a＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥.即a的最小值为.答案4．若正数a，b满足ab－a＋b＝1，则a＋b的最小值是________．解析由于ab－a＋b＝1，所以ab＝a＋b＋1，而ab≤2，所以a＋b＋1≤a＋b
2.令a＋b＝tt0，所以t＋1≤t2，解得t≥2＋2，即a＋b≥2＋
2.当且仅当a＝b＝1＋时取等号．答案2＋25．函数y＝logax＋3－1a0，a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n0，则＋的最小值为________．解析函数y＝logax＋3－1a0，a≠1的图象恒过定点A－2，－1，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴2m＋n＝1，m，n0，∴＋＝·2m＋n＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即时等号成立．答案86．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝
1.求证＋＋≥
9.证明∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝
9.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．。
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