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三排序不等式[课时作业][A组 基础巩固]1.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为 A.AB B.ABC.A≥BD.A≤B解析依序列{xn}的各项都是正数,不妨设0x1≤x2≤…≤xn则x2,x3,…,xn,x1为序列{xn}的一个排列.依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即x+x+…+x≥x1x2+x2x3+…+xnx
1.答案C2.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件、5件和2件,现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品,则花钱最少和最多的值分别为 A.2023B.1925C.2123D.1924解析最多为5×3+4×2+2×1=25,最少为5×1+4×2+2×3=19,应选B.答案B3.锐角三角形中,设P=,Q=acosC+bcosB+ccosA,则P、Q的关系为 A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能确定解析不妨设a≥b≥c,则A≥B≥C,∴cosC≥cosB≥cosA,acosC+bcosB+ccosA为顺序和,由排序不等式定理,它不小于一切乱序和,所以一定不小于P,∴Q≥P.答案C4.1+1……的取值范围是 A.21,+∞B.61,+∞C.4,+∞D.3n-2,+∞解析令A=1+1…=×××…×,B=×××…×,C=×××…×.由于,,,…,0,所以ABC
0.所以A3A·B·C.由题意知3n-2=61,所以n=
21.又因为A·B·C=3n+1=
64.所以A
4.答案C5.已知a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bii=12345重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值是 A.324B.314C.304D.212解析两组数据的顺序和为a1b1+a2b2+…+a5b5=2×3+7×4+8×6+9×10+12×11=
304.而a1c1+a2c2+…+a5c5为这两组数的乱序和,∴由排序不等式可知,a1c1+a2c2+…+a5c5≤304,当且仅当ci=bii=12345时,a1c1+a2c2+…+a5c5有最大值,最大值为
304.答案C6.已知两组数123和456,若c1,c2,c3是456的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________.解析由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32,最小值为
28.答案32 287.儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件,现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品,至少要花________钱.解析设a1=1件,a2=2件,a3=3件,b1=10元,b2=13元,b3=20元,则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3+a2b2+a3b1=1×20+2×13+3×10=76元.答案76元8.在Rt△ABC中,∠C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与a+b的大小关系为________.解析不妨设a≥b0,则A≥B0,由排序不等式⇒2aA+bB≥aA+B+bA+B=a+b∴aA+bB≥a+b.答案aA+bB≥a+b9.设a,b,c都是正实数,求证++≤.证明设a≥b≥c0,则≥≥,则≥≥.由不等式的性质,知a5≥b5≥c
5.根据排序不等式,知++≥++=++.又由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,≥≥.由排序不等式,得++≥++=++.由不等式的传递性,知++≤++=.∴原不等式成立.10.设0a1≤a2≤…≤an0b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的一个排列.求证··…·≥··…·≥··…·.证明∵0a1≤a2≤…≤an,∴lna1≤lna2≤…≤lnan.又∵0b1≤b2≤…≤bn,故由排序不等式可知b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≥c1lna1+c2lna2+…+cnlnan≥bnlna1+bn-1lna2+…+b1lnan.[B组 能力提升]1.已知a,b,c为正数,P=,Q=abc,则P、Q的大小关系是 A.PQB.P≥QC.PQD.P≤Q解析不妨设a≥b≥c0,则0≤≤,0bc≤ca≤ab,由排序原理顺序和≥乱序和,得++≥++,即≥a+b+c,∵a,b,c为正数,∴abc0,a+b+c0,于是≥abc,即P≥Q.答案B2.已知a,b,c∈R+,则a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab的正负情况是 A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析不妨设a≥b≥c0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2a2-bc+b2b2-ac+c2c2-ab≥
0.答案B3.设a1,a2,a3,a4是1234的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是________.解析a1+2a2+3a3+4a4的最大值为12+22+32+42=
30.最小值为1×4+2×3+3×2+4×1=
20.∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是
[2030].答案
[2030]4.已知a+b+c=1,a、b、c为正数,则++的最小值是________.解析不妨设a≥b≥c,∴≥≥.∴++≥++
①++≥++
②①+
②得++≥,∴++≥.答案5.设a1,a2,a3,a4∈R+且a1+a2+a3+a4=6,求+++的最小值.解析不妨设a1≥a2≥a3≥a40,则≥≥≥,a≥a≥a≥a,∴+++是数组“,,,”和“a,a,a,a”的乱序和,而它们的反序和为·a+·a+·a+·a=a1+a2+a3+a4=
6.∴由排序不等式知当a1=a2=a3=a4=时,+++有最小值,最小值为
6.6.设a,b,c为某一个三角形的三条边,a≥b≥c,求证1ca+b-c≥bc+a-b≥ab+c-a;2a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≤3abc.证明1用比较法ca+b-c-bc+a-b=ac+bc-c2-bc-ab+b2=b2-c2+ac-ab=b+cb-c-ab-c=b+c-ab-c.因为b≥c,b+c-a0,于是ca+b-c-bc+a-b≥0,即ca+b-c≥bc+a-b.
①同理可证bc+a-b≥ab+c-a.
②综合
①②,证毕.2由题设及1知,a≥b≥c,ab+c-a≤bc+a-b≤ca+b-c,于是由排序不等式反序和≤乱序和,得a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≤abb+c-a+bcc+a-b+caa+b-c=3abc+abb-a+bcc-b+caa-c.
①再一次由反序和≤乱序和,得a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≤acb+c-a+bac+a-b+cba+b-c=3abc+acc-a+aba-b+bcb-c.
②将
①和
②相加再除以2,得a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≤3abc.。