2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修

二一般形式的柯西不等式[课时作业][A组　基础巩固]1．已知x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为　　A．1　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析由柯西不等式得x＋2y＋2z2≤12＋22＋22x2＋y2＋z2＝9，所以－3≤x＋2y＋2z≤

3.当且仅当x＝＝时，等号成立．所以x＋2y＋2z的最大值为

3.答案C2．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是　　A．1B．nC．n2D．解析设n个正数为x1，x2，…，xn，由柯西不等式，得x1＋x2＋…＋xn≥2＝1＋1＋…＋12＝n

2.当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号．答案C3．设a、b、c为正数，则a＋b＋c·＋＋的最小值为　　A．11B．121C．49D．7解析a＋b＋c·≥2＝

121.答案B4．设a，b，c均为正数且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为　　A．81B．9C．7D．49解析考虑以下两组向量u＝，v＝，，．由u·v2≤|u|2·|v|2得2≤a＋b＋c，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝3，c＝4时取等号，可得·9≥2＋3＋42＝81，所以＋＋≥＝

9.答案B5．设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，则y＝＋＋…＋－n的最小值为　　A.B．C.D．解析为了利用柯西不等式，注意到2－α1＋2－α2＋…＋2－αn＝2n－α1＋α2＋…＋αn＝2n－1，所以2n－1＝[2－α1＋2－α2＋…＋2－αn]·≥2＝n2，所以y＋n≥，y≥－n＝.等号当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时成立，从而y有最小值.答案A6．同时满足2x＋3y＋z＝134x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82的实数x、y、z的值分别为______，______，________.解析可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，则x1＋x2＋x3＝18且x＋x＋x＝108，由此及柯西不等式得182＝x1＋x2＋x32≤x＋x＋x12＋12＋12＝108×3，上式等号成立的充要条件是＝＝⇒x1＝x2＝x3＝6⇒x＝3，y＝1，z＝

4.所以314是所求实数x，y，z的值．答案3　1　47．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．解析4a2＋b2＋c2＋d2＝1＋1＋1＋1a2＋b2＋c2＋d2≥a＋b＋c＋d2，即416－e2≥8－e2，即64－4e2≥64－16e＋e

2.∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.答案8．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.解析由柯西不等式知25×36＝a2＋b2＋c2·x2＋y2＋z2≥ax＋by＋cz2＝302＝25×36，当且仅当＝＝＝k时取等号．由k2x2＋y2＋z22＝25×36，解得k＝.所以＝k＝.答案9．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．解析由柯西不等式，得[x＋－2y＋－3z]2≤[12＋－22＋－32]x2＋y2＋z2，即x－2y－3z2≤14x2＋y2＋z2，即16≤14x2＋y2＋z2．所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即当x＝，y＝－，z＝－时，x2＋y2＋z2的最小值为.10．在△ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证a2＋b2＋c2≥36R

2.证明由正弦定理知＝＝＝2R，∴a2＋b2＋c2≥2＝36R

2.[B组　能力提升]1．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是　　A．1B．C.D．2解析根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝12＋12＋12·x2＋y2＋z2≥1×x＋1×y＋1×z2＝x＋y＋z2＝.答案B2．若2ab0，则a＋的最小值为　　A．1B．3C．8D．12解析∵2ab0，∴2a－b

0.∴a＋＝[2a－b＋b＋]≥·3＝

3.当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立．∴当a＝b＝2时，a＋有最小值

3.答案B3．若a，b，c为正数，则·的最小值为________．解析由柯西不等式可知，＋＋·＋＋≥·＋·＋·2＝32＝

9.答案94．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．解析利用柯西不等式．由于x＋y＋z≥2＝36，所以＋＋≥

36.当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．∴＋＋的最小值为

36.答案365．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．解析＋＋≤＋＋＝1×＋1×＋1×≤[12＋12＋12＋＋]＝，故λ的取值范围是[，＋∞．6．已知函数fx＝m－|x－2|，m∈R，且fx＋2≥0的解集为[－11]．1求m的值；2若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证a＋2b＋3c≥

9.解析1因为fx＋2＝m－|x|，所以fx＋2≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又fx＋2≥0的解集为[－11]，故m＝

1.2由1知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝a＋2b＋3c＋＋≥·＋·＋·2＝

9.。