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2.
2.1双曲线及其标准方程[课时作业][A组 基础巩固]1.与椭圆+y2=1共焦点且过点Q21的双曲线方程是 A.-y2=1B.-y2=1C.-=1D.x2-=1解析椭圆的焦点F1-,0,F2,0.与椭圆+y2=1共焦点的只有A、D两项,又因为Q点在-y2=1上.故应选A.答案A2.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1-,0,点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为02,则该双曲线的方程是 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析由题意可设双曲线方程为-=1,又由中点坐标公式可得P,4,∴-=1,解得a2=
1.答案B3.2015·高考福建卷若双曲线E-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 A.11 B.9 C.5 D.3解析由题意知a=3,b=4,c=5,由双曲线定义知,=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=9答案B4.已知F
1、F2为双曲线C x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 A.B.C.D.解析双曲线的方程为-=1,所以a=b=,c=2,因为|PF1|=2|PF2|,所以点P在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a=2,所以解得|PF2|=2,|PF1|=4,所以根据余弦定理得cos∠F1PF2==.答案C5.已知F
1、F2为双曲线C x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为 A.B.C.D.解析∵||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=4,∴|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1||PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1||PF2|cos60°,又∵a=1,b=1,∴c==,∴|F1F2|=2c=2,∴4+2|PF1||PF2|-8=|PF1||PF2|,∴|PF1||PF2|=4,设P到x轴的距离为|y0|,S△PF1F2=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2||y0|,∴×4×=×2|y0|,∴y0==.故选B.答案B6.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为03,则实数k的值为________.解析方程化为标准形式是-=1,所以--=9,即k=-
1.答案-17.若方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是________.解析根据焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1a>0,b>0,得满足题意的m需满足不等式组即∴m>5,∴m的取值范围为5,+∞.答案5,+∞8.已知双曲线C-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于________.解析由-=1知c=5,∴|F1F2|=2c=10,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=6+|PF2|=16,cos∠F1PF2===.∴sin∠F1PF2=.∴S△PF1F2=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=×16×10×=
48.答案489.动圆M与两定圆F1x2+y2+10x+24=0,F2x2+y2-10x-24=0都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解析将圆的方程化成标准式F1x+52+y2=1,圆心F1-50,半径r1=1,F2x-52+y2=72,圆心F250,半径r2=
7.由于动圆M与定圆F1,F2都外切,所以|MF1|=r+1,|MF2|=r+7,∴|MF2|-|MF1|=6,∴点M的轨迹是双曲线的左支,且焦点F1-50,F25,0,∴c=5,且a=3,∴b2=c2-a2=52-32=
16.∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1x0.10.设双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.1若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;2若∠F1MF2=60°时,△F1MF2的面积是多少?解析1由双曲线方程知a=2,b=3,c=.设|MF1|=r1,|MF2|=r2r1r2.由双曲线定义,有r1-r2=2a=4,两边平方得r+r-2r1·r2=16,即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,也即52-16=4S△F1MF2,求得S△F1MF2=
9.2若∠F1MF2=60°.在△MF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=r+r-2r1r2cos60°,|F1F2|2=r1-r22+r1r2,解得r1r2=
36.求得S△F1MF2=r1r2sin60°=
9.[B组 能力提升]1.“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由mn0⇔m0,n0或m0,n0,所以mx2+ny2=1表示焦点可能在x轴上也可能在y轴上的双曲线;而mx2+ny2=1表示焦点在x轴的双曲线则有m0,n0,故mn
0.故应选B.答案B2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是 A.16B.18C.21D.26解析由题意结合双曲线定义得|AF2|=2a+|AF1|,|BF2|=2a+|BF1|.又|AF1|+|BF1|=|AB|=52a=8,∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AB|+4a+|AB|=16+2|AB|=
26.答案D3.若椭圆+=1mn0和双曲线-=1a0,b0有共同的焦点F1,F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=________.解析如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2,∴|PF1|+|PF2|2=4m.
①由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|-|PF2|2=4a,
②①-
②得,|PF1|·|PF2|=m-a.答案m-a4.已知双曲线-=1的两焦点为F1,F
2.1若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离;2若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点3,2,求双曲线C的方程.解析1不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,·=0,则MF1⊥MF2,设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义知,m-n=2a=8,
①又m2+n2=2c2=80,
②由
①②得m·n=8,∵mn=4=|F1F2|·h,∴h=.2设所求双曲线C的方程为-=1-4λ16,由于双曲线C过点3,2,所以-=1,解得λ=4或λ=-14舍去.∴所求双曲线C的方程为-=
1.5.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M、N为焦点,且过点P的双曲线方程.解析∵△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,∴设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48得k=
4.∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=
20.以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为-=1a0,b0.由|PM|-|PN|=4得2a=4,a=2,a2=
4.由|MN|=20得2c=20,c=10,∴b2=c2-a2=
96.∴所求双曲线方程为-=1x≠±2.。