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2.2第1课时椭圆的简单几何性质[A组 基础巩固]1.椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为 A.-10,10B.-60,60C.-,0,,0D.0,-,0,解析方程化为x2+=1,∴a2=6,a=,长轴的端点坐标为0,±.答案D2.正数m是2和8的等比中项,则椭圆x2+=1的离心率为 A.B.C.或D.或解析由题意得m2=2×8=16,∵m是正数,∴m=4,∴c2=4-1=3,∴c=,∴e=.故选A.答案A3.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1ab0上的一点,且·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析在Rt△PF1F2中,设PF2=1,则PF1=2,F1F2=,故此椭圆的离心率e==.答案A4.椭圆C1+=1和椭圆C2+=10<k<9有 A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴解析对椭圆C1,c1==4,对椭圆C2,∵0<k<9,∴25-k>9-k>
0.其焦点在y轴上,∴c2==4,故选B答案B5.若椭圆中心在原点,对称轴为坐标轴,长轴长为2,离心率为,则该椭圆的方程为 A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1解析由题意知a=,又∵e=,∴c=1,∴b2=a2-c2=3-1=2,所求椭圆方程为+=1或+=
1.故选D.答案D6.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为8,则该椭圆的方程是________.解析由题意知,2c=8,c=4,∴e===,∴a=8,从而b2=a2-c2=48,∴方程是+=
1.答案+=17.已知椭圆+=1有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是________.解析直线与x轴,y轴的交点分别为A20,B01,由题意a=2,b=1,椭圆方程为+y2=1,c2==3,故椭圆的焦点坐标为±,0.答案±,08.过椭圆+=1ab0的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则该椭圆的离心率为________.解析如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,∴|PF1|=,|PF2|=.由椭圆定义知+=2a,∴e==.答案9.设椭圆方程为mx2+4y2=4mm0的离心率为,试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标.解析椭圆方程可化为+=
1.1当0m4时,a=2,b=,c=,∴e===,∴m=3,∴b=,c=1,∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是42,焦点坐标为F1-10,F210,顶点坐标为A1-20,A22,0,B10,-,B20,.2当m4时,a=,b=2,∴c=,∴e===,解得m=,∴a=,c=,∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为,4,焦点坐标为F1,F2,顶点坐标为A1,A2,B1-20,B220.10.已知椭圆+=1的离心率e=,求k的值.解析1当椭圆的焦点在x轴上时,a2=k+8,b2=9,得c2=k-
1.由e=,可得=,即k=
28.2当椭圆的焦点在y轴上时,a2=9,b2=k+8,得c2=1-k.由e=,得=,即k=-.故满足条件的k值为k=28或-.[B组 能力提升]1.我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,设其近地点A距地面为n千米,远地点B距地面为m千米,地球半径为R千米,则飞船运行轨道的短轴长为 A.2千米B.千米C.mn千米D.2mn千米解析设运行轨道的长半轴长为a,焦距为2c,由题意,可得解得a=+R,c=,故b====.即2b=
2.答案A
2.已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若A,F2为线段PQ的三等分点,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析连接PF1,由题意知OA=b,∴|PF1|=2b,∴|PF2|=2a-2b,∴|AF2|=a-b.在Rt△OAF2中有b2+a-b2=c2,将b2=a2-c2代入整理得3a2-3c2-2a=0,即3-3e2=2,即9e4-14e2+5=0,解得e2=或e2=1舍去,∴e=.故选C.答案C3.已知椭圆的长轴长为20,离心率为,则该椭圆的标准方程为________.解析由条件知,2a=20,=,∴a=10,c=6,b=8,故标准方程为+=1或+=
1.答案+=1或+=14.2015·高考浙江卷椭圆+=1a>b>0的右焦点Fc0关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________.解析设椭圆的另一个焦点为F1-c0,如图,连接QF1,QF,设QF与直线y=x交于点M.由题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ.又O为线段F1F的中点,∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|.在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c,可解得|OM|=,|MF|=,故|QF|=2|MF|=,|QF1|=2|OM|=.由椭圆的定义得|QF|+|QF1|=+=2a,整理得b=c,∴a==c,故e==.答案5.已知F1,F2是椭圆+=1ab0的左、右焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=.记线段PF1与y轴的交点为Q,O为坐标原点,若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,求该椭圆的离心率.解析依题知,F1P⊥F2P,所以△F1QO∽△F1F2P,因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2,所以=,所以=,设椭圆的焦距为2c,则F1P=c,F2P==c,由椭圆的定义可得c+c=2a,所以,e===-
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6.如图,椭圆+=1ab0的上顶点为A,左顶点为B,F为右焦点,过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点.作平行四边形OCED,E恰在椭圆上.1求椭圆的离心率;2若平行四边形OCED的面积为,求椭圆的方程.解析1∵焦点为Fc0,AB斜率为,故CD方程为y=x-c.与椭圆联立后消去y得2x2-2cx-b2=
0.∵CD的中点为G,点E的坐标为,将E代入椭圆方程并整理得2c2=a2,∴e==.2由1知CD的方程为y=x-c,b=c,a=c.与椭圆联立消去y得2x2-2cx-c2=
0.∵平行四边形OCED的面积为S=c|yC-yD|=c=c=c2=,∴c=,a=2,b=.故椭圆方程为+=
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