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2.2第1课时椭圆的简单几何性质[A组 基础巩固]1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为 A．－10，10B．－60，60C．－，0，，0D．0，－，0，解析方程化为x2＋＝1，∴a2＝6，a＝，长轴的端点坐标为0，±．答案D2．正数m是2和8的等比中项，则椭圆x2＋＝1的离心率为 A.B.C.或D.或解析由题意得m2＝2×8＝16，∵m是正数，∴m＝4，∴c2＝4－1＝3，∴c＝，∴e＝.故选A.答案A3．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1ab0上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析在Rt△PF1F2中，设PF2＝1，则PF1＝2，F1F2＝，故此椭圆的离心率e＝＝.答案A4．椭圆C1＋＝1和椭圆C2＋＝10＜k＜9有 A．等长的长轴B．相等的焦距C．相等的离心率D．等长的短轴解析对椭圆C1，c1＝＝4，对椭圆C2，∵0＜k＜9，∴25－k＞9－k＞
0.其焦点在y轴上，∴c2＝＝4，故选B答案B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，离心率为，则该椭圆的方程为 A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析由题意知a＝，又∵e＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，所求椭圆方程为＋＝1或＋＝
1.故选D.答案D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴方程是＋＝
1.答案＋＝17．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析直线与x轴，y轴的交点分别为A20，B01，由题意a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，c2＝＝3，故椭圆的焦点坐标为±，0．答案±，08．过椭圆＋＝1ab0的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆定义知＋＝2a，∴e＝＝.答案9．设椭圆方程为mx2＋4y2＝4mm0的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析椭圆方程可化为＋＝
1.1当0m4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是42，焦点坐标为F1－10，F210，顶点坐标为A1－20，A22，0，B10，－，B20，．2当m4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1－20，B220．10．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．解析1当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－
1.由e＝，可得＝，即k＝
28.2当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.由e＝，得＝，即k＝－.故满足条件的k值为k＝28或－.[B组 能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A距地面为n千米，远地点B距地面为m千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为 A．2千米B.千米C．mn千米D．2mn千米解析设运行轨道的长半轴长为a，焦距为2c，由题意，可得解得a＝＋R，c＝，故b＝＝＝＝.即2b＝
2.答案A
2.已知椭圆C＋＝1ab0的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆x2＋y2＝b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析连接PF1，由题意知OA＝b，∴|PF1|＝2b，∴|PF2|＝2a－2b，∴|AF2|＝a－b.在Rt△OAF2中有b2＋a－b2＝c2，将b2＝a2－c2代入整理得3a2－3c2－2a＝0，即3－3e2＝2，即9e4－14e2＋5＝0，解得e2＝或e2＝1舍去，∴e＝.故选C.答案C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．解析由条件知，2a＝20，＝，∴a＝10，c＝6，b＝8，故标准方程为＋＝1或＋＝
1.答案＋＝1或＋＝14．2015·高考浙江卷椭圆＋＝1a＞b＞0的右焦点Fc0关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析设椭圆的另一个焦点为F1－c0，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，可解得|OM|＝，|MF|＝，故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.答案5．已知F1，F2是椭圆＋＝1ab0的左、右焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝.记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析依题知，F1P⊥F2P，所以△F1QO∽△F1F2P，因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，所以＝，所以＝，设椭圆的焦距为2c，则F1P＝c，F2P＝＝c，由椭圆的定义可得c＋c＝2a，所以，e＝＝＝－
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6.如图，椭圆＋＝1ab0的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．1求椭圆的离心率；2若平行四边形OCED的面积为，求椭圆的方程．解析1∵焦点为Fc0，AB斜率为，故CD方程为y＝x－c．与椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2＝
0.∵CD的中点为G，点E的坐标为，将E代入椭圆方程并整理得2c2＝a2，∴e＝＝.2由1知CD的方程为y＝x－c，b＝c，a＝c.与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2＝
0.∵平行四边形OCED的面积为S＝c|yC－yD|＝c＝c＝c2＝，∴c＝，a＝2，b＝.故椭圆方程为＋＝
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