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2.
1.1合情推理[课时作业][A组 基础巩固]1.观察下列各式72=4973=34374=2401,…,则72015的末两位数字为 A.01 B.43C.07D.49解析因为71=772=4973=34374=240175=16807,76=117649,…,所以这些数的末两位数字呈周期性出现,且周期T=
4.又2015=4×503+3,所以72015的末两位数字与73的末两位数字相同,为
43.答案B2.下面几种推理是合情推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质;
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;
③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分;
④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是n-2·180°.A.
①②B.
①③C.
①②④D.
②④解析
①是类比推理;
②是归纳推理;
④是归纳推理.所以
①、
②、
④是合情推理.答案C3.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=
29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为 A.a1a2a3…a9=29B.a1+a2+…+a9=29C.a1a2…a9=2×9D.a1+a2+…+a9=2×9解析等比数列中积等差数列中的和∴a1+a2+…+a9=2×
9.答案D4.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应4个图形那么4个图表中,可以表示A*D,A*C的分别是 A.1,2B.1,3C.2,4D.1,4解析由
①②③④可归纳得出符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,∴A*D是2,A*C是4.答案C5.n个连续自然数按规律排列下表根据规律,从2015到2017箭头的方向依次为 A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列,由可知从2015到2017为→↓,故应选D.答案D6.把136101521,…这些数叫作三角形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形如图,试求第七个三角形数是________.解析观察知第n个三角形数为1+2+3+…+n=,∴第7个三角形数为=
28.答案287.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶
2.则它们的面积比为1∶
4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________.解析==·=×=.答案1∶88.设函数fx=x0,观察f1x=fx=,f2x=ff1x=,f3x=ff2x=,f4x=ff3x=,……根据以上事实,由归纳推理可得当n∈N*且n≥2时,fnx=ffn-1x=________.解析根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是24816,…可知fnx的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fnx=.答案9.在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,给出正确结论.解析由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直侧面垂直.直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”,因此类比的结论是“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直,则S+S+S=S”.10.已知数列{an}的第1项a1=1,且an+1=n=12,…,试归纳出这个数列的通项公式.解析当n=1时,a1=1当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;当n=4时,a4==.观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒数,由此猜想,这个数列的通项公式为an=n=12,….[B组 能力提升]1.已知数列{an}满足an+1=an-an-1n≥2,a1=a,a2=b,设Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是 A.a100=-a,S100=2b-aB.a100=-b,S100=2b-aC.a100=-b,S100=b-aD.a100=-a,S100=b-a解析∵a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b.且a7=a6-a5=a,a8=b,…,∴数列{an}具有周期性,周期为6,且S6=0则a100=a4=-a,S100=S4=2b-a.答案A2.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是
①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角相等;
②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等;
③各个面是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角相等;
④各棱长相等,相邻的两个面所成的二面角相等.A.
①④B.
①②C.
①③D.
③④解析类比推理的原则是类比前后保持类比规则的一致性,而
③④违背了这一原则,只有
①②符合.答案B3.已知x0,由不等式x+≥2=2,x+=++≥3=3,…我们可以得出推广结论x+≥n+1n∈N*,则a=________.解析由观察可得x+=+≥n+1·=n+1·=n+1,则a=nn.答案nn4.已知经过计算和验证有下列正确的不等式+2,+2,+2,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都成立的条件不等式________.解析观察所给不等式可以发现不等式左边两个根式的被开方数的和等于20,不等式的右边都是2,因此对正实数m,n都成立的条件不等式是若m,n∈R+,则当m+n=20时,有+
2.答案若m,n∈R+,则当m+n=20时,有+25.观察下列等式
①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;
②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.解析由
①②知,两角相差30°,运算结果为,猜想sin2α+cos2α+30°+sinαcosα+30°=.证明左边=++sinαcosα+30°=1-++sinα=1-cos2α+cos2α-sin2α+sin2α-==右边故sin2α+cos2α+30°+sinαcosα+30°=.6.已知椭圆具有以下性质若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似的性质,并加以证明.解析类似的性质为若M、N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下设点M、P的坐标为m,n、x,y,则N-m,-n.∵点Mm,n在已知双曲线上,∴n2=m2-b
2.同理y2=x2-b
2.则kPM·kPN=·==·=定值.。