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2.
2.2反证法[课时作业][A组 基础巩固]1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是 A.a<b B.a≤bC.a=bD.a≥b解析“a>b”的否定应为“a=b或a<b”,即a≤b.故应选B.答案B2.用反证法证明命题“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为 A.a,b,c,d全都大于等于0B.a,b,c,d全为正数C.a,b,c,d中至少有一个正数D.a,b,c,d中至多有一个负数解析至少有一个负数的否定是一个负数也没有,即a,b,c,d全都大于等于
0.答案A3.“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定正确的为 A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数解析自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形13个都是奇数;22个奇数,1个偶数;31个奇数,2个偶数;43个都是偶数.所以否定正确的是a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数.答案D4.给定一个命题“已知x1>0,x2≠1且xn+1=,证明对任意正整数n都有xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应是 A.对任意正整数n有xn≤xn+1B.存在正整数n使xn≤xn+1C.存在正整数n使xn>xn+1D.存在正整数n使xn≥xn-1且xn≥xn+1解析“对任意正整数n都有xn>xn+1”的否定为“存在正整数n使xn≤xn+1”.答案B5.设a,b,c∈-∞,0,则三数a+,c+,b+中 A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2解析++=++∵a,b,c∈-∞,0,∴a+=-≤-2,b+=-≤-2,c+=-≤-2,∴++≤-6,∴三数a+、c+、b+中至少有一个不大于-2,故应选C.答案C6.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________.解析“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案没有一个是三角形或四边形或五边形7.△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB∠APC,求证∠BAP∠CAP.用反证法证明时的假设为________.解析反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP∠CAP.答案∠BAP=∠CAP或∠BAP∠CAP8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为________.解析由反证法证明的步骤知,先反证即
③,再推出矛盾即
①,最后作出判断,肯定结论即
②,即顺序应为
③①②.答案
③①②9.已知a≥-1,求证以下三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+a-1x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.证明假设三个方程都没有实根,则三个方程中它们的判别式都小于0,即⇒⇒-<a<-1,这与已知a≥-1矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方程有实数解.10.求证不论x,y取何非零实数,等式+=总不成立.证明假设存在非零实数x,y使得等式+=成立.于是有yx+y+xx+y=xy,即x2+y2+xy=0,即x+2+y2=
0.由y≠0,得y
20.又x+2≥0,所以x+2+y
20.与x2+y2+xy=0矛盾,故原命题成立.[B组 能力提升]1.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了这四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说“甲、丙都未获奖.”丙说“我获奖了.”丁说“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 A.甲B.乙C.丙D.丁解析若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案C2.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定解析分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD点D在BC上,则∠ADB+∠ADC=π,若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC∠BAD,∠ADC∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意.答案B3.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1a,b是常数,且ab,那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个.解析假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得an=bn,由题意ab,n∈N*,则恒有anbn,从而an+2bn+1恒成立,∴不存在n使an=bn.答案04.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是12,…,7的一个排列,求证乘积p=a1-1a2-2…a7-7为偶数.证明假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=________=
0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以a1-1+a2-2+…+a7-7也为奇数.即a1+a2+…+a7-1+2+…+7为奇数.又因为a1,a2,…,a7是12,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为
0.所以奇数=a1-1+a2-2+…+a7-7=a1+a2+…+a7-1+2+…+7=
0.答案a1-1+a2-2+…+a7-7a1+a2+…+a7-1+2+…+75.已知a,b,c都是小于1的正数,求证1-ab,1-bc,1-ca中至少有一个不大于.证明假设1-ab,1-bc,1-ca都大于,即1-ab>,1-bc>,1-ca>.∵a,b,c都是小于1的正数,∴>,>,>,∴++>.*又∵≤,≤,≤,∴++≤++==当且仅当1-a=b1-b=c1-c=a,即a=b=c=时,等号成立,与*式矛盾.∴假设不成立,原命题成立,故1-ab,1-bc,1-ca中至少有一个不大于.6.求证抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明如图,设抛物线方程为y2=2pxp>0,在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4,则y=2pxii=1234,于是直线AB的斜率为kAB==,同理kBC=,kCD=,kDA=.假设四边形ABCD为平行四边形,则有kAB=kCD,kBC=kDA,即有
①-
②得y1-y3=y3-y1,∴y1=y3,同理y2=y4,则x1===x3,同理x2=x4,由,.显然A,C重合,B,D重合.这与A,B,C,D为抛物线上任意四点矛盾,故假设不成立.∴四边形ABCD不可能是平行四边形.。