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6.
1.1归 纳
一、基础达标1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是 A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大答案 A2.由集合{a1},{a1,a2},{a1,a2,a3},…的子集个数归纳出集合{a1,a2,a3,…,an}的子集个数为 A.nB.n+1C.2nD.2n-1答案 C解析 集合{a1}的子集有∅,{a1}共2个;{a1,a2}的子集有∅,{a1},{a2},{a1,a2}共4个;集合{a1,a2,a3}的子集共8个,猜测含n个元素的集合的子集有2n个,故选C.3.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于 1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113答案 B解析 由数塔运算积的知识易得B.4.设n是自然数,则n2-1[1--1n]的值 A.一定是零B.不一定是整数C.一定是偶数D.是整数但不一定是偶数答案 C解析 当n=1时,值为0,当n=2时,值为0,当n=3时,值为2,当n=4时,值为0,当n=5时,值为
6.5.已知=2,=3,=4,…,若=6a,b均为实数,推测a=________,b=________.答案 6 356.设函数fx=x0,观察f1x=fx=,f2x=f[f1x]=,f3x=f[f2x]=,f4x=f[f3x]=,…根据以上事实,由归纳推理可得当n∈N+且n≥2时,fnx=f[fn-1x]=________.答案 解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式,由13715…,可推知该数列的通项公式为an=2n-1,又函数结果分母中常数项依次为24816,…,故其通项公式为bn=2n.∴fnx=.7.设Sn=+++…+,写出S1,S2,S3,S4的值,归纳并猜想出结果,并给出证明.解 n=1234时,S1=,S2=,S3=,S4=.猜想Sn=.证明如下=-,∴Sn=1-+-+-+…+-=1-=.
二、能力提升8.观察下列各式55=312556=1562557=78125,…,则52011的末四位数字为 A.3125B.5625C.0625D.8125答案 D解析 55=312556=1562557=7812558的末四位数字为062559的末四位数字为3125510的末四位数字为5625511的末四位数字为8125512的末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈现规律性交替出现,所以52011=54×501+7末四位数字为
8125.9.2013·湖北理古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数13610,…,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为Nn,kk≥3,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式三角形数 Nn3=n2+n正方形数 Nn4=n2五边形数 Nn5=n2-n六边形数 Nn6=2n2-n......可以推测Nn,k的表达式,由此计算N1024=________.答案 1000解析 由Nn4=n2,Nn6=2n2-n,…,可以推测当k为偶数时,Nn,k=-1n2--2n,于是Nn24=11n2-10n,故N1024=11×102-10×10=
1000.10.2013·陕西理观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10…照此规律,第n个等式可为________.答案 12-22+32-…+-1n-1n2=nn+1解析 分n为奇数、偶数两种情况.当n为偶数时,分组求和12-22+32-42+…+[n-12-n2]=-.当n为奇数时,第n个等式=-+n2=.综上,第n个等式12-22+32-…+-1n-1n2=nn+1.11.根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想它的通项公式.1a1=a,an+1=;2对一切的n∈N*,an0,且2=an+
1.解 1由已知可得a1=a,a2==,a3==,a4==.猜想an=n∈N*.2∵2=an+1,∴2=a1+1,即2=a1+1,∴a1=
1.又2=a2+1,∴2=a2+1,∴a-2a2-3=
0.∵对一切的n∈N*,an0,∴a2=
3.同理可求得a3=5,a4=7,猜想出an=2n-1n∈N*.12.观察以下等式sin230°+cos260°+sin30°·cos60°=,sin240°+cos270°+sin40°·cos70°=,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=.…写出反映一般规律的等式,并给予证明.解 反映一般规律的等式是表述形式不唯一sin2α+cos2α+30°+sinα·cosα+30°=.证明如下sin2α+cos2α+30°+sinα·cosα+30°=sin2α+cosα·cos30°-sinα·sin30°2+sinα·cosαcos30°-sinα·sin30°=sin2α+cosα-sinα2+sinα·cosα-sin2α=sin2α+cos2α+sin2α-sinα·cosα+sinα·cosα-sin2α=sin2α+cos2α=.
三、探究与创新13.在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,求a2,a3,a4,并猜想数列的通项公式,并给出证明.解 {an}中a1=1,a2==,a3===,a4==,…,所以猜想{an}的通项公式an=n∈N+.证明如下因为a1=1,an+1=,所以==+,即-=,所以数列{}是以=1为首项,公差为的等差数列,所以=1+n-1=+,即通项公式an=n∈N+.。