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习题课 机械能守恒定律的应用 机械能守恒定律的判断[要点归纳]机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”1．利用机械能的定义判断判断物体动能和势能的和即机械能是否变化，如匀速上升、匀速下降、沿斜面匀速运动的物体机械能必定不守恒2．用做功判断看物体或系统是否只有重力或弹簧的弹力做功3．用能量转化来判断看是否存在其他形式的能和机械能相互转化，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失4．对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒[精典示例][例1] 多选如图1所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是 图1A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球机械能的减少量等于斜劈动能的增加量解析 小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误；不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确答案 BD[针对训练1]多选如图2所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 图2A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒解析 题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒；题图乙中拉力F做功，机械能不守恒；题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒答案 CD 含弹簧类机械能守恒问题[精典示例][例2] 如图3所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L未超过弹性限度，则在圆环下滑到最大距离的过程中 图3A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析 圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒可知，弹簧的弹性势能增加mgL，故选项B正确答案 B利用机械能守恒定律分析问题时，一定要注意守恒条件的应用，灵活选取研究对象本题中圆环的机械能不守恒，但圆环与弹簧所组成的系统的机械能守恒 [针对训练2]如图4所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求图41弹簧的最大弹性势能；2木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能解析 1木块压缩弹簧的过程中，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能最大时，对应木块的动能为零，故有Epm＝mv＝×4×52J＝50J2由机械能守恒有mv＝Ep1＋mv×4×52J＝Ep1＋×4×32J得Ep1＝32J答案 150J 232J 机械能守恒定律和动能定理的应用比较[要点归纳]机械能守恒定律和动能定理的比较 规律内容 机械能守恒定律动能定理表达式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk应用范围只有重力或弹力做功时无条件限制研究对象系统单个物体关注角度守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小动能的变化及合力做功情况[精典示例][例3] 如图5所示，某人以v0＝4m/s的速度斜向上与水平方向成45°角抛出一个小球，小球落地时速度为v＝8m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h甲、乙两位同学看了本题的参考解法“mgh＝mv2－mv”后争论了起来甲说此解法依据的是动能定理，乙说此解法依据的是机械能守恒定律，你对甲、乙两位同学的争论持什么观点，请简单分析，并求出抛出时的高度hg取10m/s2图5解析 甲、乙两位同学的说法均正确从抛出到落地，重力做功mgh，动能增加mv2－mv，由动能定理可知mgh＝mv2－mv，所以甲说法对从抛出到落地，重力势能减少mgh，动能增加mv2－mv，由机械能守恒定律mgh＝mv2－mv，乙说法也对抛出时的高度h＝eq\fv2－v2g＝m＝
2.4m答案 见解析对单个物体包括地球为系统只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程 [针对训练3]为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝
2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝
0.2m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图6所示一个质量m＝1kg的小物块以初速度v0＝
5.0m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝
4.0m/s取g＝10m/s2，sin37°＝
0.6，cos37°＝
0.8图61求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；2求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；3为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？解析 1设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有，FN－mg＝meq\fvR解得FN＝90N根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90N2由于水平轨道BC光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从A到B的运动过程转化为研究从A到C的过程物块从A到C的过程中，根据动能定理有mgLsin37°＋Wf＝mv－mv解得Wf＝－
16.5J3设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m，则v≥小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有mv＝mv2＋2mgR联立得R≤eq\fv5g解得R≤
0.32m答案 190N 2－
16.5J 3R≤
0.32m1．机械能守恒的判断下列运动的物体，机械能守恒的是 A．物体沿斜面匀速下滑B．物体从高处以
0.9g的加速度竖直下落C．物体沿光滑曲面滑下D．拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小物体以
0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为
0.1mg，合力在物体下落时对物体做负功，物体机械能不守恒物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体机械能不守恒综上，机械能守恒的是C项答案 C2．含弹簧类机械能守恒问题如图7所示，在高
1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为g取10m/s2 图7A．10JB．15JC．20JD．25J解析 由2gh＝v－0得vy＝，即vy＝m/s，落地时，tan60°＝可得v0＝＝m/s，由机械能守恒定律得Ep＝mv，可求得Ep＝10J，故A正确答案 A3．机械能守恒与动能定理的综合应用滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱如图8所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7m的水平轨道一运动员从AB轨道上的P点以6m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零已知运动员与滑板的总质量为50kg，h＝
1.4m，H＝
1.8m，不计圆弧轨道上的摩擦g＝10m/s2求图81运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？2运动员与BC轨道的动摩擦因数解析 1以水平轨道为零势能面，从P点到B点，根据机械能守恒定律有mv＋mgh＝mv解得vB＝8m/s从C点到Q点，根据机械能守恒定律有mv＝mgH解得vC＝6m/s2从B到C由动能定理，－μmglBC＝mv－mv解得μ＝
0.2答案 18m/s 6m/s
20.2基础过关1．关于机械能守恒，下列说法中正确的是 A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒C．物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒D．物体沿竖直方向向下做加速度为5m/s2的匀加速运动，其机械能减少解析 物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变化，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或减少，选项A错误；物体仅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代数和为零时，物体的机械能守恒，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5m/s2的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，故选项D正确答案 D2．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是 解析 依据机械能守恒条件只有重力或弹力做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件，故答案为C答案 C3．多选如图1所示，小滑块从一个固定的光滑斜槽轨道顶端由静止开始下滑，用v、t和h分别表示小滑块沿轨道下滑的速率、时间和距轨道顶端的高度如图所示的v-t图象和v2-h图象中可能正确的是 图1解析 小滑块下滑过程中，小滑块的重力沿斜槽轨道切向的分力逐渐变小，故小滑块的加速度逐渐变小；故A错误，B正确；由机械能守恒得mgh＝mv2，故v2＝2gh，所以v2与h成正比，C错误，D正确答案 BD4．如图2所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B下降h时的速度为 图2A.B.C.D.解析 根据系统机械能守恒得，对A下降h的过程有mgh＝Ep，对B下降h的过程有3mgh＝Ep＋×3mv2，解得v＝，只有选项A正确答案 A5．韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900J，他克服阻力做功100J韩晓鹏在此过程中 A．动能增加了1900JB．动能增加了2000JC．重力势能减小了1900JD．重力势能减小了2000J解析 由动能定理得W合＝1900J－100J＝1800J，动能增加了1800J，故A、B错；重力势能的变化量等于重力做功等于1900J，C正确，D错误答案 C6．如图3所示，质量为m＝2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平原长位置A处由静止释放，小球到达距O点下方h＝
0.5m处的B点时速度为2m/s求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功g取10m/s2图3解析 对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mgh＝mv2＋E弹，E弹＝mgh－mv2＝6J，W弹＝－6J即弹簧弹力对小球做功为－6J答案 －6J能力提升7．多选如图4所示，一个小环套在竖直放置的光滑圆形轨道上做圆周运动小环从最高点A滑到最低点B的过程中，其线速度大小的平方v2随下落高度h变化的图象可能是四个所示图中的 图4解析 设小环在A点的速度为v0，以A点为零势能点，由机械能守恒定律得－mgh＋mv2＝mv得v2＝v＋2gh，可见v2与h是线性关系，若v0＝0，B正确；若v0≠0，A正确答案 AB8．小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图5所示将两球由静止释放在各自轨迹的最低点 图5A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度解析 小球由静止释放，由机械能守恒定律，可知mgl＝mv2，即v＝因mP＞mQ，lP＜lQ，vP＜vQ，动能大小无法判断，A、B错误；在最低点时满足FT－mg＝，将v＝代入可得FT＝3mg，mP＞mQ，故FTP＞FTQ，C正确；向心加速度an＝＝2g，与m及l无关，故anP＝anQ，D错误答案C9．物块A的质量为m＝2kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝
0.6，水平面光滑坡道顶端距水平面高度为h＝1m，倾角为θ＝37°物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在水平滑道M处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图6所示物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝
0.6，cos37°＝
0.8，求图61物块滑到O点时的速度大小；2弹簧为最大压缩量时的弹性势能；3物块A被弹回到坡道后上升的最大高度解析 1由动能定理得mgh－μmgcosθ＝mv2解得v＝代入数据得v＝2m/s2在水平滑道上，由机械能守恒定律得mv2＝Ep代入数据得Ep＝4J3设物块A能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得－mgh1－μmgcosθ·＝0－mv2代入数据解得h1＝m答案 12m/s 24J 3m10．如图7所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝
0.20m、h2＝
0.10m，BC水平距离L＝
1.00m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝
0.05kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比图71当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；2求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；3当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由解析 1由机械能守恒定律可得E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝
0.05×10×
0.2J＝
0.1J由ΔEk＝mv可得v0＝2m/s2由E弹∝d2可得ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1由动能定律可得－mgh1＋h2－μmgL＝－ΔEk′μ＝＝
0.53恰能通过圆环最高点必须满足的条件是mg＝由机械能守恒定律有v＝v0＝2m/s得Rm＝
0.4m当R≤
0.4m时，滑块能上升到B点；当R＞Rm＝
0.4m时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到B点答案
10.1J 2m/s
20.53不一定，原因见解析11．如图8所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接AB弧的半径为R，BC弧的半径为一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动图81求小球在B、A两点的动能之比；2通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点解析 1设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒，得EkA＝mg，
①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg，
②由
①②式，得＝5
③2若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0，
④设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式，有N＋mg＝meq\fv\fR2
⑤由
④⑤式，得vC应满足mg≤eq\f2mvR，
⑥由机械能守恒，有mg·＝mv，
⑦由
⑥⑦式，可知小球恰好可以沿轨道运动到C点答案 15∶1 2恰能到C点，理由见解析。
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