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习题课
（二）法拉第电磁感应定律、愣次定律的综合应用[目标定位]
1.进一步理解公式E＝n与E＝BLv的区别和联系.能够应用两个公式求解感应电动势.
2.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路.
3.综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题.
一、电磁感应中的电路问题电磁感应问题常与电路知识综合考查，解决此类问题的基本方法是1明确部分电路或导体产生感应电动势，该电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路.2画等效电路图，分清内、外电路.3用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝BLv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向，在等效电源内部，方向从负极指向正极.4运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解.例1 把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图1所示，一长度为2a，电阻等于R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好接触，当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求图11棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；2在圆环和金属棒上消耗的总热功率.解析 本题综合考查电磁感应及电路中功率的计算.关键是要分析清楚电路结构，画出等效电路图.1把切割磁感线的金属棒看成一个具有内阻为R，电源电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，画出等效电路如图所示.等效电源电动势为E＝BLv＝2Bav.外电路的总电阻为R外＝＝R.棒上电流大小为I＝＝＝.电流方向从N流向M.根据分压原理，棒两端的电压为UMN＝·E＝Bav.2圆环和金属棒上消耗的总热功率为P＝IE＝.答案 1 N→M Bav 2电磁感应中电路问题的分析方法1明确电路结构，分清内、外电路，画出等效电路图.2根据产生感应电动势的方式计算感应电动势的大小，如果是磁场变化，由E＝n计算；如果是导体切割磁感线，由E＝BLv计算.3根据楞次定律或右手定则判断感应电流的方向.4根据电路组成列出相应的方程式.针对训练 固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd，边长为l，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线.磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上，如图2所示，若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过l的距离时，通过aP的电阻的电流是多大？方向如何？图2答案 方向由P到a解析 PQ向右移动切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，外电路由Pa与Pb并联而成，PQ滑过l时的等效电路如图所示.PQ切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blv，方向由Q指向P.外电路总电阻为R外＝＝R电路总电流为I＝＝＝aP段电流大小为IaP＝I＝，方向由P到a.
二、电磁感应中的图像问题
1.明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者是E－t图像、I－t图像、F－t图像等.
2.分析电磁感应的具体过程.
3.确定感应电动势或感应电流的大小和方向，有下列两种情况1若回路面积不变，磁感应强度变化时，用楞次定律确定感应电流的方向，用E＝n确定感应电动势大小的变化.2若磁场不变，导体切割磁感线，用右手定则判断感应电流的方向，用E＝BLv确定感应电动势大小的变化.
4.画图像或判断图像.特别注意分析斜率的变化、截距等.
5.涉及受力问题，可由安培力公式F＝BIL和牛顿运动定律等规律写出有关函数关系式.例2 如图3甲所示，矩形导线框abcd固定在磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，若规定顺时针方向为感应电流的正方向，下列各图中正确的是 图3解析 0～1s内，磁感应强度B均匀增大，由法拉第电磁感应定律可知，产生的感应电动势E＝n恒定，电流I＝恒定；由楞次定律可知，电流方向为逆时针方向，即负方向，在i－t图像上，是一段平行于t轴的直线，且方向为负，可见，A、C不正确.在1～2s内B、D中电流情况相同，在2～3s内，负向的磁感应强度均匀增大，由法拉第电磁感应定律知，产生的感应电动势E＝n恒定，电流I＝恒定，由楞次定律知，电流方向为顺时针方向，即正方向，在I－t图像上，是一段平行于t轴的直线，且方向为正，只有D符合，选D.答案 D本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝nS判断E的大小及变化，由楞次定律判断感应电流的方向，即图像的“＋”、“－”.其中为B－t图像的斜率，特别注意1～3s内斜率不变，I感的大小、方向都不变.例3 如图4所示，一底边为L，底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L，宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.t＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图线可能是 图4解析 根据E＝BLv，I＝＝，三角形导体线框进、出磁场时，有效长度L都变小.再根据右手定则，进、出磁场时感应电流方向相反，进磁场时感应电流方向为正，出磁场时感应电流方向为负，故选A.答案 A线框进、出匀强磁场，可根据E＝BLv判断E大小变化，再根据右手定则判断方向.特别注意L为切割的有效长度.
1.电磁感应中的电路问题粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行.现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如下图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差绝对值最大的是 答案 B解析 磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路由三个相同电阻串联形成，A、C、D中a、b两点间电势差为外电路中一个电阻两端的电压为U＝E＝，B图中a、b两点间电势差为路端电压为U′＝E＝，所以a、b两点间电势差绝对值最大的是B图，故A、C、D错误，B正确.
2.电磁感应中的电路问题如图5所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R指拉直时两端的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为 图5A.B.C.D.Bav答案 A解析 摆到竖直位置时，导体棒AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·v＝Bav.由闭合电路欧姆定律有UAB＝－·＝－Bav，故选A.
3.电磁感应中的图像问题如图6所示，在x≤0的区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面纸面向里，具有一定电阻的矩形线框abcd位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合，令线框从t＝0的时刻起由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流I取逆时针方向的电流为正随时间t的变化图线正确的是 图6答案 D解析 因为导体棒做匀加速直线运动，所以感应电动势为E＝BLv＝BLat，因此感应电流大小与时间成正比，方向为顺时针.
4.电磁感应中的图像问题多选如图7所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向向里为磁感应强度B的正方向，线圈中的箭头为电流I的正方向，线圈及线圈中感应电流I随时间变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B随时间变化的图线可能是 图7答案 CD题组一 电磁感应中的电路问题
1.用均匀导线做成的正方形线框边长为
0.2m，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图1所示.当磁场以10T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间的电势差是 图1A.Uab＝
0.1VB.Uab＝－
0.1VC.Uab＝
0.2VD.Uab＝－
0.2V答案 B解析 题中正方形线框的左半部分磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流产生，把左半部分线框看成电源，其电动势为E，内阻为，画出等效电路如图所示，则a、b两点间的电势差即为电源的路端电压，设l是边长，且依题意知＝10T/s.由E＝得E＝＝·＝10×V＝
0.2V，所以U＝IR＝·＝
0.1V，由于a点电势低于b点电势，故Uab＝－
0.1V，故B选项正确.
2.如图2所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L和2L的两只闭合线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框的电流分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为 图2A.1∶4B.1∶2C.1∶1D.不能确定答案 C解析 产生的感应电动势为E＝Blv，由闭合电路欧姆定律得I＝，又Lb＝2La，由电阻定律知Rb＝2Ra，故Ia∶Ib＝1∶
1.
3.如图3所示，是两个相连的金属圆环，小金属圆环的电阻是大金属圆环电阻的二分之一，磁场垂直穿过金属圆环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大金属圆环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的电势差为 图3A.EB.EC.ED.E答案 B解析 ab两点间的电势差等于路端电压，而小金属圆环电阻占电路总电阻的，故Uab＝E，B正确.
4.在图4中，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻不计，R为电阻，C为电容器，AB为可在EF和GH上滑动的导体棒，有匀强磁场垂直于导轨平面，若用I1和I2分别表示图中该处导线中的电流，则当棒AB 图4A.匀速滑动时，I1＝0，I2＝0B.匀速滑动时，I1≠0，I2≠0C.加速滑动时，I1＝0，I2＝0D.加速滑动时，I1≠0，I2≠0答案 D解析 导体棒水平运动时产生感应电动势，对整个电路，可把AB棒看做电源，等效电路如图所示，当棒匀速滑动时，电动势E不变，故I1≠0，I2＝
0.当棒加速滑动时，电动势E不断变大，电容器不断充电，故I1≠0，I2≠
0.5．多选法拉第圆盘发电机的示意图如图5所示．铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触．圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中．圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是 图5A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍答案 AB解析 将圆盘看成无数幅条组成，它们都在切割磁感线从而产生感应电动势和感应电流，根据右手定则可知圆盘上感应电流从边缘流向中心，则当圆盘顺时针俯视转动时，流过电阻的电流方向从a到b，B对；由法拉第电磁感应定律得感生电动势E＝BL＝BL2ω，I＝，ω恒定时，I大小恒定，ω大小变化时，I大小变化，方向不变，故A对，C错；由P＝I2R＝知，当ω变为2倍时，P变为原来的4倍，D错．题组二 电磁感应中的图像问题
6.如图6甲所示，闭合的圆线圈放在磁场中，t＝0时刻磁感线垂直线圈平面向里穿过线圈，磁感应强度随时间变化的关系图线如图乙所示，则在0～2s内线圈中感应电流的大小和方向为 图6A.逐渐增大，逆时针方向B.逐渐减少，顺时针方向C.大小不变，顺时针方向D.大小不变，先顺时针方向后逆时针方向答案 C解析 因为B－t图像的斜率不变，所以感应电流恒定，根据楞次定律判断电流方向为顺时针方向.
7.如图7所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域，细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M′N′的过程中，棒上感应电动势E随时间t变化的图像，可能正确的是 图7答案 A解析 在金属棒PQ进入磁场区域之前或离开磁场后，棒上均不会产生感应电动势，D选项错误.在磁场中运动时，感应电动势E＝BLv与时间无关，保持不变，故A选项正确，B、C选项错误.
8.如图8所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的速度v＝20cm/s匀速通过磁场区域.在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行，取它刚进入磁场的时刻t＝0，正确反映感应电流随时间变化规律的图像是 图8答案 C解析 线框在进入磁场的过程中，由楞次定律可知感应电流方向是逆时针的，E＝Blv，感应电流i＝＝，是一个恒定的值.线框全部进入磁场后在磁场中运动的过程中，线框的磁通量不变，所以无感应电流.离开磁场的过程中，由楞次定律可知感应电流方向是顺时针的，其大小与进入时相等，综合上述三个过程，选项C正确.
9.一矩形线框位于一随时间t变化的磁场内，磁场方向垂直线框所在的平面纸面向里，如图9甲所示，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示.以I表示线框中的感应电流，以图甲中线框上箭头所示方向的电流为正方向即顺时针方向为正方向，则以下的I－t图中正确的是 图9答案 C
10.如图10所示，在水平面纸面内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”字型导轨，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触，下列关于回路中电流I与时间t的关系图线，可能正确的是 图10答案 A解析 设MN在匀速运动中切割磁感线的有效长度为L，∠bac＝2θ，感应电动势为E＝BLv，三角形的两边长相等且均为L′＝，由R＝ρ可知三角形的总电阻R＝ρ＝ρ＝kLk为常数，再由闭合电路欧姆定律得I＝＝＝是一个常量，与时间t无关，所以选项A正确.
11.将一段导线绕成图11甲所示的闭合回路，并固定在水平面纸面内.回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中.回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示.用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反应F随时间t变化的图像是 图11答案 B解析 0～时间内，回路中产生顺时针方向、大小不变的感应电流，根据左手定则可以判定ab边所受安培力向左，大小恒定不变.～T时间内，回路中产生逆时针方向、大小不变的感应电流，根据左手定则可以判定ab边所受安培力向右，大小恒定不变，故B正确.题组三 综合应用12．面积S＝
0.2m
2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图12所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是B＝
0.02tT，R＝3Ω，C＝30μF，线圈电阻r＝1Ω，求图121通过R的电流方向和4s内通过导线横截面的电荷量；2电容器的电荷量．答案 1b→a
0.4C 29×10－6C解析 1由法拉第电磁感应定律可得出线圈中的感应电动势，由欧姆定律可求得通过R的电流．由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a，Q＝It＝t＝nt＝n＝100×C＝
0.4C2由E＝n＝nS＝100×
0.2×
0.02V＝
0.4V，I＝＝A＝
0.1A，UC＝UR＝IR＝
0.1×3V＝
0.3V，Q＝CUC＝30×10－6×
0.3C＝9×10－6C
13.如图13a所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距L＝
0.3m，导轨左端连接R＝
0.6Ω的电阻，区域abcd内存在垂直于导轨平面B＝
0.6T的匀强磁场，磁场区域宽D＝
0.2m.细金属棒A1和A2用长为2D＝
0.4m的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直，每根金属棒在导轨间的电阻均为r＝
0.3Ω.导轨电阻不计.使金属棒以恒定速度v＝
1.0m/s沿导轨向右穿越磁场.计算从金属棒A1进入磁场t＝0到A2离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻R的电流强度，并在图b中画出.图13答案 见解析解析 t1＝＝
0.2s在0～t1时间内，A1产生的感应电动势E1＝BLv＝
0.18V其等效电路如图甲所示.甲由图甲知，电路的总电阻R总＝r＋＝
0.5Ω总电流为I＝＝
0.36A通过R的电流为IR＝＝
0.12AA1离开磁场t1＝
0.2s至A2刚好进入磁场t2＝＝
0.4s的时间内，回路无电流，IR＝0，从A2进入磁场t2＝
0.4s至离开磁场t3＝＝
0.6s时间内，A2上的感应电动势E2＝E1＝
0.18V，其等效电路如图乙所示.乙由图乙知，电路总电阻R总′＝
0.5Ω，总电流I′＝
0.36A，流过R的电流IR′＝
0.12A，综合以上计算结果，绘制出过R的电流强度与时间的关系图像如图所示.。
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