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第16讲 直角三角形重难点1 直角三角形性质的应用 xx·南充如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为BA.B．1C.D.直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”都能揭示直角三角形中的直角边、斜边上的中线与斜边的关系，运用这两个性质时，要注意它们之间的区别．【变式训练1】 xx·常德如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为DA．6B．5C．4D．3重难点2 勾股定理及其逆定理 1xx·益阳如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝
6.5；图1【变式提问】 2如图2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC上的中线AD＝6，求BC的长．图2【思路点拨】 1对于原题来说，由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD的长度；2对于变式，可延长AD到点E，使DE＝DA，连接BE，证得△ABE是直角三角形，再利用勾股定理求BD，从而得BC.【自主解答】 解延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE.在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDBSAS．∴AC＝BE＝
13.∵在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，∴AB2＋AE2＝BE
2.∴∠BAE＝90°.∵在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝6，∴BD＝＝.∴BC＝
2.1．已知三角形两边及第三条边上中线长，通常把中线延长并加倍，这样可利用三角形全等，把分散的条件集中在同一个三角形中．2．要求一条线段的长可以转化成求这条线段的一半或2倍．在利用勾股定理的逆定理时，注意当两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形．【变式训练2】 xx·泸州“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为DA．9B．6C．4D．3【变式训练3】 xx·襄阳已知CD是△ABC的边AB上的高．若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．考点1 直角三角形的定义1．xx·柳州如图，图中直角三角形有CA．1个B．2个C．3个D．4个2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是DA．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C考点2 直角三角形的两个锐角互余3．xx·株洲如图所示，在△ABC中，∠B＝25°． 考点3 含30°角的直角三角形的性质4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝AA．6B．6C．6D．125．xx·泰州如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为270°－3α．用含α的式子表示6．xx·广安如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝2．考点4 直角三角形斜边上的中线的性质7．xx·福建如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝3．8．xx·徐州如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点．若∠C＝55°，则∠ABD＝35°．考点5 勾股定理9．xx·滨州在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为AA．5B．6C．7D．810．xx·绍兴如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为
0.7米，顶端距离地面
2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为CA．
0.7米B．
1.5米C．
2.2米D．
2.4米11．xx·德州如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝
4.则点C到射线OA的距离为3．12．xx·吉林如图，在平面直角坐标系中A4，0，B0，3，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为－1，0．考点6 勾股定理的逆定理13．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是BA．4，5，6B．
1.5，2，
2.5C．2，3，4D．1，，314．xx·曲靖如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，CD.如果DE＝
2.5，那么△ACD的周长是18．15．xx·毕节如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM.若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为BA．3B．2C．3D．616．xx·娄底如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为CA．4cmB．6cmC．8cmD．12cm17．xx·枣庄如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上．如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是BA．2个B．3个C．4个D．5个18．xx·荆州为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上，且BD＝AC＝
1.通过计算可得＋1＞.填“＜”“＞”或“＝”19．xx·福建把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝－1．20．xx·黄冈如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.杯壁厚度不计21．xx·无锡已知在△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于10或15．22．xx·北京如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC＞∠DAE.填“＞”“＝”或“＜”23．xx·资阳如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，…，依此规律，则点A2018的坐标是0，21__009．24．xx·湖州在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为
5.问当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形FEGH的面积的所有可能值是9，13和49．不包括5 图1 备用图25．xx·长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为AA．
7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米26．xx·湘潭《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为x2＋32＝10－x2．。
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