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2017-2018学年高二数学下学期期中试题文III本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.一.选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知是虚数单位,且(),则的虚部等于()A.B.C.D.2.用分析法证明欲使
①AB,只需
②CD,这里
①是
②的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.椭圆C+=1经过伸缩变换得到椭圆C′的一个焦点是 A.,0B.03C.0,D.0,-4.θ取一切实数时,连接A4sinθ,6cosθ和B-4cosθ,6sinθ两点的线段的中点轨迹是 A.圆 B.椭圆C.直线D.线段5.已知双曲线的参数方程为θ为参数则焦点F到渐近线的距离为( )A.1B..C.2D.
6.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )A.a=3B.a=4C.a=5D.a=67.直线的参数方程,则直线的倾斜角为()A.B.C.D.8.设x,y∈,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是A.-∞,lg6] B.-∞,2lg3]C.[lg6,+∞D.[2lg3,+∞9.如图,将平面直角坐标系中的格点横、纵坐标均为整数的点按如下规则标上数字标签原点处标0,点10处标1,点1,-1处标2,点0,-1处标3,点-1,-1处标4,点-10处标5,点-11处标6,点01处标7,依此类推,则标签为20132的格点的坐标为 A.10061005B.10071006C.10081007D.1009100810.若曲线上有个点到曲线的距离等于,则n=()A.1B.2C.3D.411.已知x∈0,+∞,观察下列各式x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,类比有x+≥n+1n∈N*,则a= A.nB.2nC.n2D.nn
12、平面直角坐标系中,点在曲线(为参数,)上.以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,若点M,N的极坐标分别为,且点M,N都在曲线C上,则()A.B.2C.1D.二.填空题(每小题5分,共20分)13.某成品的组装工序流程图如图所示,箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时),不同车间可同时工作,同一车间不能同时做两种或两种以上的工作,则组装该产品所需要的最短时间是__________小时.14.在极坐标系中,点P到圆ρ=-2cosθ的圆心的距离为______________________.15.从极点O引定圆ρ=2cosθ的弦OP,延长OP到Q,使=,则点Q的轨迹的极坐标方程方程为________.16.如图所示,已知圆O x2+y2=9,圆O1x-32+y2=27,求大圆被小圆截得的劣弧的长________.第II卷三.解答题(本题共6道小题,共70分)17.(10分)在极坐标系中,曲线Cρ=2acosθa0,lρcos=,C与l有且仅有一个公共点.
(1)求a;
(2)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.18.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)已知,若恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)某中学研究性学习小组,为了考查高中学生的作文水平与爱看课外书的关系,在本校高三年级随机调查了50名学生.调查结果表明在爱看课外书的25人中有18人作文水平好,另7人作文水平一般;在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好,另19人作文水平一般.
(1)试根据以上数据完成以下2×2列联表,并运用独立性检验思想,指出是否有
99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系?高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表爱看课外书不爱看课外书总计作文水平好作文水平一般总计
(2)将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为
1、
2、
3、
4、5,某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为
1、
2、
3、
4、5,从这两组学生中各任选1人进行学习交流,求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率.附K2=,其中n=a+b+c+d.PK2≥k
0.
150.
100.
050.
0250.
0100.
0050.001k
2.
0722.
7063.
8415.
0246.
6357.
87910.82820.(12分)1设a、b为正实数,且+=2求证a2+b2≥12对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求证|x-2y+1|≤
5.21.(12分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),.
(1)求曲线的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;
(2)设曲线与曲线的交点为,,当时,求的值.22.(12分)已知函数.
(1)当,求的图象在点处的切线方程;
(2)若对任意都有恒成立,求实数的取值范围.参考答案一.1—6DBABDA7—12BBBCDA二.
13.
1314.
15. ρ=5cosθ
16.π.三.17.解
(1)曲线C是以a0为圆心,以a为半径的圆;l的直角坐标方程为x+y-3=
0.由直线l与圆C相切可得=a,解得a=
1.……5分
(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos=3cosθ-sinθ=2cos,当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值
2..……10分18.【答案】
(1);
(2).【解析】
(1)不等式可化为
①.当时,
①式为,解得;……2分当,
①式为,解得;……4分当时,
①式为,无解综上所述,不等式的解集为..……6分
(2)解,.……8分令,.……10分时,,要使不等式恒成立,只需,即,实数取值范围是..……12分19.[解析]
(1)2×2列联表如下爱看课外书不爱看课外书总计作文水平好18624作文水平一般71926总计252550……3分因为K2==≈
11.
53810.
828.由表知,PK2≥
10.828≈
0.
001.故有
99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系..……6分
(2)设“被选取的两名学生的编号之和为3的倍数”为事件A,“被选取的两名学生的编号之和为4的倍数”为事件B.因为事件A所包含的基本事件为12,15,21,24,33,42,45,51,54,共9个,基本事件总数为5×5=
25.所以PA=..……8分因为事件B所包含的基本事件为13,22,31,35,44,53,共6个..……10分所以PB=.因为事件A、B互斥,所以PA∪B=PA+PB=+=..……12分20.解
(1)由2=+≥2得ab≥当且仅当a=b=时取等号故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=时取等号.……6分|x-2y+1|=|x-1-2y-2-2|≤|x-1|+2|y-2|+|-2|≤1+2+2=
5..……12分
21.【答案】
(1)曲线为椭圆;
(2).试题分析
(1)运用直角坐标与极坐标之间的互化关系求解;
(2)依据题设借助直线参数方程的几何意义分析求解1由得,该曲线为椭圆..……4分
(2)将代入得.……6分,由直线参数方程的几何意义,设,,,,.……8分所以,从而,由于,所以..……12分22.解
(1)当时,,所以所求切线方程为..……4分
(2)令,则,当时,,则单调递增,,.……6分当时,,在单调递增,恒成立.……9分;当时,存在当,使,则在单调递减,在单调递增,则当时,,不合题意,综上,则实数的取值范围为..……12分。