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2017-2018学年高二数学下学期期中试题理II
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.复数z满足(1+i)z=i,则在复平面内复数z所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.定积分的值为A.e+2B.e+1C.eD.e-
13.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为A.y=x-1B.y=-x+lC.y=2x-2D.y=-2x+
24.函数y=xcosx的导数为A.y=cosx-xsinxB.y=cosx+xsinxC.y=xcosx-sinxD.y=xcosx+sinx
5.设f(x)=x2-2x-4lnx,则函数f(x)的增区间为A.(0,+)B.(-,-1),(2,+)C.(2,+)D.(-1,0)
6.若复数z=(x2-4)+(x+3)i(x∈R),则“z是纯虚数”是“x=2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个
8.直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为A.B.9C.D.
9.若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x
310.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是A.20B.18C.3D.
011.设函数f(x)是奇函数f(x)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-l,0)D.(0,1)(1,+)
12.设函数f(x)=(x-2)lnx-ax+l,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是A.(0,)B.(,]C.(,1)D.[,1)
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分
13.下列是关于复数的类比推理
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则;
②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2;
③已知a,b∈R,若a-b0,则ab类比得已知z1,z2∈C,若z1-z20,则z1z2;
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中推理结论正确的是__________.
14.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(xx)+f(xx)=_________.
15.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是_________.
16.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10,则(a,b)=__________.
17.函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象如图所示,且f(x)在x=x0与x=-1处取得极值,给出下列判断
①f
(1)+f(-1)=0;
②f(-2)0;
③函数y=f(x)在区间(-,0)上是增函数.其中正确的判断是_________.(写出所有正确判断的序号)
18.对于函数f(x)=(2x-x2)ex
①(-,)是f(x)的单调递减区间;
②f(-)是f(x)的极小值,f()是f(x)的极大值;
③f(x)有最大值,没有最小值;
④f(x)没有最大值,也没有最小值.其中判断正确的是________.
三、解答题本大题共4小题,每小题15分,共60分.
19.已知函数f(x)=ax3+x2a∈R.在x=-处取得极值.(I)确定a的值;(II)若g(x)=f(x)·ex,讨论g(x)的单调性.
20.设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(I)确定a的值;(II)求函数f(x)的单调区间与极值.
21.已知函数f(x)=ex+.(I)当a=时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;(II)函数f(x)是否存在零点若存在,求出零点的个数;若不存在,请说明理由.
22.已知函数f(x)=-ax.(I)当a=2时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;(ii)求函数f(x)的单调区间;(II)若1a2,求证f(x)-
1.参考答案
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分题号123456789101112答案ACAACBADAAAB
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分13
①④14-xx15(-,2ln2-2]16(4,-11)17
②③18
②④
三、解答题本大题共4小题,共60分.
19.解(I)对f(x)求导得f(x)=3ax2+ax,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f(-)=0,即3a·+2·(-)=-=0,解得a=.(II)由(I)得g(x)=()ex,故g(x)=()ex+()ex=()ex=x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-
4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x-1时,g(x)0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0,故g(x)为减函数;当x0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知,g(x)在(-,-4)和(-l,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.
20.解(I)因f(x)=a(x-5)2+6lnx,故f(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f
(1)=16a,f
(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-16a=6-8a(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(II)由(I)知f(x)=(x-5)2+6lnx(x0),f(x)=x-5+=.令f(x)=0,解得x1=2,x2=
3.当0x2或x3时,f(x)0,故f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当2x3时,f(x)0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f
(2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f
(3)=2+6ln
3.
21.解(I)f(x)=ex+,f(x)=ex-,f
(0)=1-.当a=时,f
(0)=-
3.又f
(0)=-1,则f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x-l.(II)函数f(x)的定义域为(-,a)(a,+).当x∈(a,+)时,ex0,0,所以f(x)=ex+0,即f(x)在区间(a,+∞)上没有零点.当x∈(-∞,a)时,f(x)=ex+=,令g(x)=ex(x-a)+1,只要讨论g(x)的零点即可.g(x)=ex(x-a+1),g(a-1)=
0.当x∈(-∞,a-1)时,g(x)0,g(x)是减函数;当x∈(a-1,a)时,g(x)0,g(x)是增函数,所以g(x)在区间(-∞,a)上的最小值为g(a-1)=1-ea-
1.当a=1时,g(a-1)=0,所以x=a-1是f(x)的唯一的零点;当al时,g(a-1)=1-ea-10,所以f(x)没有零点;当al时,g(a-1)=1-ea-
10.所以f(x)有两个零点.
22.解(I)当a=2时,f(x)=-2x.f(x)=-2=.(i)可得f
(1)=0,又f
(1)=-3,所以f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y=-
3.(ii)在区间(0,1)上2-2x20,且-lnx0,则f(x)
0.在区间(1,+)上2-2x20,且-lnx0,则f(x)
0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(II)由x0,f(x)-1,等价于-ax-l,等价于ax2-x+1-lnx
0.设h(x)=ax2-x+1-lnx,只须证h(x)0成立.因为h(x)=2ax-1-=,1a2,由h(x)=0,得2ax2-x-1=0有异号两根.令其正根为x0,则2ax-x0-1=
0.在(0,x0)上h(x)0,在(x0,+)上h(x)
0.则h(x)的最小值为h(x0)=ax-x0+1-lnx0==.又h
(1)=2a-20,h()=2()=a-30,所以x
01.则0,-lnx
00.因此-lnx00,即h(x0)
0.所以h(x)0所以f(x)-
1.。