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2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题文
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合M={1,2,3,4},集合N={1,3,5},则M∩N等于( )A.{2}B.{2,3}C.{1,3}D.{1,2,3,4,5}
2.已知曲线y=x3+,则在点P(2,4)的切线方程是( )A.4x﹣y﹣4=0B.x﹣4y﹣4=0C.4x﹣4y﹣1=0D.4x+y﹣4=
03.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的( ).A.充要条件B.必要不充条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
4.抛物线y=2x2的准线方程是( )A.B.C.D.
5.函数函数f(x)=(x﹣3)ex的单调递增区间是( )A.(﹣∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)
6.过点P(1,1)的直线m与抛物线x2=﹣2y只有1个公共点,则直线m共有( )条A.0B.1C.2D.
37.下列求导运算正确的是( )A.(x+)′=1+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=﹣2xsinx
8.中心在坐标原点,离心率为且实轴长为6的双曲线的焦点在x轴上,则它的渐近线方程是( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x
9.设F为抛物线C y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交于C于A,B两点,则|AB|=( )A.B.6C.12D.
710.已知函数f(x)=,若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )A.B.C.(﹣∞,2]D.(﹣∞,2)
11.已知F1,F2是双曲线E﹣=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )A.B.C.D.
212.已知函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)2,则f(x)>2x+4的解集为( )A.(﹣1,1)B.(﹣1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,+∞)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13、命题∀x∈R,x2﹣x+3>0的否定是 .
14、已知双曲线的一条渐近线方程是y=x,则该双曲线的离心率等于 .
15、函数f(x)=x3﹣ax2+3x+4在(﹣∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 .
16、设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为 .
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(本小题11分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线Cρsin2θ=2cosθ,过点p(﹣3,﹣5)的直线(t为参数)与曲线C相交于点M,N两点.
(1)求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程;
(2)求的值.
18.(本小题11分)设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)已知关于x的不等式解集为R,求实数的取值范围.
19.(本小题12分)设函数f(x)=mx2—5x+n+6lnx,其中mn∈R,且曲线y=f(x)在点A(1,f
(1))处的切线为2x﹣y+6=0.
(1)确定mn的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
20.(本小题12分)已知以为一条渐近线的双曲线C的右焦点为.
(1)求该双曲线C的标准方程;
(2)若直线y=2x+m在双曲线C上截得的弦长为,求这一条直线的方程.
21.(本小题12分)已知函数f(x)=bx3+ax2﹣9x﹣1,且函数f(x)在x=1与x=-3时分别取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知g(x)=-9x+2m-1,若f(x)与g(x)的图象有3个不同交点,求实数m的取值范围.
22.(本小题12分)已知椭圆C+=1(a>b>0)的左焦点为F(﹣2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.CACDDDBCCAAC∃x∈R,x2﹣x+3≤0[﹣,]y=x17解
(1)由ρsin2θ=2cosθ,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,∴y2=2x.即曲线C的直角坐标方程为y2=2x.消去参数t,得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0.
(2)将直线l的参数方程为程代入曲线C的直角坐标方程为y2=2x,得.由韦达定理,得,t1t2=62,所以t1,t2同为正数,则=.20解
(1)由抛物线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程(a>0,b>0),由c=,渐近线方程y=±x,∴=,即,即2a2=3b2,由c2=a2﹣b2=5,解得a2=3,b2=2,∴双曲线C的标准方程;
(2)设l y=2x+m,与双曲线的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).则,整理得10x2+12mx+3m2+6=0,由韦达定理可知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)∴,解得,.∴l的方程.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)22解(Ⅰ)由题意可得,解得c=2,a=,b=.∴椭圆C的标准方程为;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),设T(﹣3,m),则直线TF的斜率,∵TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.设P(x1,y1),Q(x2,y2).联立,化为(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,△>0,∴y1+y2=,y1y2=.∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4=.∵四边形OPTQ是平行四边形,∴,∴(x1,y1)=(﹣3﹣x2,m﹣y2),∴,解得m=±1.此时四边形OPTQ的面积S=═=.。