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文本内容:
第十三章
13.
3.3等边三角形知识点1等边三角形及其性质 1等边三角形的定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.2等边三角形的性质:
①等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60°;
②等边三角形是轴对称图形对称轴有三条;
③等边三角形是特殊的等腰三角形它具有所有等腰三角形的性质.关键提醒:等边三角形具有三条“三线合一”的线.知识点2等边三角形的判定 等边三角形的判定方法有三个:1定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形;2三个角都相等的三角形是等边三角形;3有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.归纳整理:用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来证明三角形是等边三角形的情况比较多.考点1等边三角形的边角计算【例1】如图过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P作PE⊥AC于EQ为BC延长线上一点当PA=CQ时连PQ交AC边于D则DE的长为 A. B. C. D.不能确定答案:B点拨如图所示作PF∥BC交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠APF=∠ABC=60°∠AFP=∠ACB=60°∴△APF是等边三角形∴AP=PF∵PA=CQ∴PF=CQ.在△DPF和△DQC中 ∴△DPF≌△DQC∴DF=DC∵PE⊥AC∴E是AF中点从而ED=AC=故选B.因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系所以通过分割将其分成两部分后分别证DF=DC和EF=EA从而求之.考点二利用等边三角形证线段和差【例2】如图在△ABC中AB=ACD是CB延长线上的一点∠ADB=60°E是AD上的一点且DE=DB.求证:AE=BE+BC. 1 2 3证明证法一:如图1延长DC到F使CF=BD连接AF∵∠ADB=60°DE=DB∴△DBE是等边三角形∴BE=DB.∴BE=CF.∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°∴△ADF是等边三角形∴AD=DF∴AD-DE=DF-DB即AE=BF∴AE=BC+CF=BC+BE.证法二:如图2延长EB到P使BP=BC连接APCP.∵∠ADB=60°DE=DB∴△DBE是等边三角形∴∠CBP=∠DBE=60°∴△BPC为等边三角形∴BP=PC.∵AB=ACAP=AP∴△BAP≌△CAP∴∠BPA=∠CPA∵∠PCB=∠D=60°∴PC∥AD∴∠CPA=∠EAP∴∠EAP=∠BPA∴AE=EP=BE+BC.证法三:如图3过C作CM∥BE交AD于M.∵∠ADB=60°DE=DB∴△DBE是等边三角形∴∠DBE=60°.∵CM∥BE∴∠MCD=∠DBE=60°∠DMC=∠DEB=60°∴△DCM为等边三角形∴CD=MD∴CD-DB=DM-DE即BC=EM.∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.∵∠D=∠MCD=60°∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE∴∠CMA=∠AEB∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE∴AE=AM+EM=BE+BC.点拨欲证一线段等于另两线段之和可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形所以有相等的边与角从而有全等的三角形由此得证.。