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文本内容:
课时作业三十一[
19.1
2. 第1课时 矩形的判定]
一、选择题1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是 图K－31－1A．OA＝OC，OB＝ODB．AC＝BDC．AB＝BCD．AC⊥BD2．下列说法
①两条对角线相等的四边形是矩形；
②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；
③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；
④四个角都相等的四边形是矩形；
⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有 A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是 A．AD⊥CDB．AD＝CDC．AC⊥BDD．AC＝BD图K－31－2 图K－31－34．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．A．
①②B．
①④C．
①③④D．
②③④
二、填空题5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件__________，使四边形DBCE是矩形．图K－31－4 图K－31－56．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________. 图K－31－67．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.
三、解答题8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证四边形EFGH是矩形． 图K－31－
79.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF∥BC.求证四边形BCEF是矩形.图K－31－810．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，四边形ABCD的周长为32cm，求AE的长．图K－31－911．xx·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.1求证四边形BECD是平行四边形；2若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.图K－31－1012．xx·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.1求证AB＝AF；2若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．图K－31－11动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动．如果点P和Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形APQD为矩形？图K－31－12详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案]B2．[答案]B3．[答案]C
4.[答案]B5．[答案]EB＝DC答案不唯一6．[答案]90° 矩形 48cm27．[答案]68．证明∵E是OA的中点，G为OC的中点，∴OE＝OA，OG＝OC.∵在矩形ABCD中，OA＝OC，∴OE＝OG.同理OF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形．∵OE＝OA，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC.同理FH＝BD.又在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．9．证明∵EF∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴∠CEF＝90°.∵∠A＝∠ABF，∴BF∥AC，∴∠CBF＝180°－∠C＝90°，∴四边形BCEF是矩形．10．解∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠BCD＝90°.∵∠B和∠BCD互补，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.而∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝CE，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.∵四边形ABCD的周长为32cm，AD＝AE＋DE，∴2AE＋AE＋4＝32，解得AE＝6cm．11．[解析]1先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；2若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.解1证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.又∵BO＝CO，∴四边形BECD是平行四边形．210012．解1证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.∵G为AD的中点，∴AG＝DG.又∵∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝AF.2四边形ACDF为矩形．证明∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD＝2AG，CF＝2FG，∴AD＝CF，∴四边形ACDF为矩形．[素养提升][解析]若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.解根据题意，当AP＝DQ时，由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，∴当t为4s时，四边形APQD为矩形．。
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