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课时作业三十六[
19.2
2. 第2课时 菱形的判定与性质的综合]
一、选择题1.xx·聊城如图K-36-1,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是 A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC图K-36-1 图K-36-22.如图K-36-2,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=12,AB=10,则AE的长为 A.16B.15C.14D.133.如图K-36-3所示,在▱ABCD中,AE平分∠DAB交CD于点E,EF∥AD交AB于点F.若AB=9,CE=4,AE=8,则DF等于 A.4B.8C.6D.9图K-36-3 图K-36-44.如图K-36-4,分别以直角三角形ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论
①EF⊥AC;
②四边形ADFE为菱形;
③AD=4AG;
④FH=BD.其中正确的结论是 A.
①②③B.
①②④C.
①③④D.
②③④
二、填空题5.如图K-36-5,把一张矩形纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60°的菱形,剪口与折痕所成的角α的度数应为________.图K-36-5 图K-36-66.如图K-36-6,在菱形ABCD中,过对角线BD上任意一点P作EF∥BC,GH∥AB,下列结论正确的是________.填序号
①图中共有3个菱形;
②△BEP≌△BGP;
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半;
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长.
7.图K-36-7如图K-36-7,在正五边形ABCDE中,连结AC,AD,CE,CE交AD于点F,连结BF,则线段AC,BF,CD之间的关系式是________________________________________________________________________.
三、解答题8.如图K-36-8,在△ABC中,PQ是CA的垂直平分线,交AB于点E,CF∥AB交PQ于点F,连结AF,CE.求证1△AED≌△CFD;2四边形AECF是菱形.图K-36-89.如图K-36-9,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.1求证△AEF≌△DEB;2若四边形ADCF是菱形,且AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.图K-36-910.如图K-36-10
①,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于点F,ED与AB,BC分别交于点M,H.1求证CF=CH;2如图
②,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么形状的特殊四边形,并证明你的结论.图K-36-10操作探究小明用两条宽度均为dcm的长方形纸条交错地叠在一起,相交成∠α如图K-36-11,设重叠部分是四边形ABCD.1他发现不管∠α是锐角、直角还是钝角,四边形ABCD的形状好像总不变,请你判断它的形状,并说出理由;2分别求出当d=1,∠α=45°和d=,∠α=60°时重叠部分的面积.图K-36-11详解详析【课时作业】[课堂达标]1.[解析]D 菱形是特殊的平行四边形,因而在判定一个四边形是菱形时,可先判定这个四边形是平行四边形,然后在平行四边形的基础上增加条件边或角判定其是菱形.∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形,要使四边形DBFE是菱形,则添加邻边相等即可,由BE平分∠ABC得,∠DBE=∠EBF.又∵DE∥BC,∴∠DEB=∠EBF,∴∠DBE=∠DEB,∴DE=DB,∴四边形DBFE是菱形.2.[答案]A3.[解析]C ∵AB∥CD,∴∠EAF=∠AED.又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAF,∴∠DAE=∠AED,∴AD=ED.∵AB∥CD,EF∥AD∥BC,∴四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形.而AD=ED,∴四边形ADEF是菱形,∴EC=BF=4,AF=AB-BF=9-4=5,AE⊥DF,AO=AE=4,∴在Rt△AOF中,OF==3,∴DF=2OF=
6.4.[解析]C 根据已知先判定△ABC≌△EFA,则∠AEF=∠BAC,得出EF⊥AC,由等边三角形的性质得出∠BDF=30°,从而证得△DBF≌△EFA,则AE=DF,再由FE=AB,得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形,根据平行四边形的性质得出AD=4AG,从而得到答案.5.[答案]30°或60°[解析]如图.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC.∵∠ABC=60°,∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°.6.[答案]
①②④7.[答案]AC2+BF2=4CD28.证明1∵PQ为线段AC的垂直平分线,∴AD=CD.∵CF∥AB,∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED.在△AED与△CFD中,∵∠EAC=∠FCA,AD=CD,∠AED=∠CFD,∴△AED≌△CFD.2∵△AED≌△CFD,∴AE=CF.∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EC=AE,CF=AF,∴EC=AE=CF=AF,∴四边形AECF为菱形.9.解1证明∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵∠AEF=∠DEB,∴△AEF≌△DEB.2∵菱形ADCF是中心对称图形,∴S菱形ADCF=2S△ADC.∵D是BC的中点,∴CD=BC,∴S△ADC=S△ABC,即S△ABC=2S△ADC,∴S菱形ADCF=S△ABC=AB·AC=×5×4=
10.10.解1证明∵AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.在△BCF和△ECH中,∵∠B=∠E,CB=CE,∠BCF=∠ECH,∴△BCF≌△ECHA.S.A.,∴CF=CH.2四边形ACDM是菱形.证明由1知∠A=∠B=∠D=∠E=45°.∵∠ACB=90°,∠BCE=45°,∴∠ACE=45°,∴∠ACD=∠DCE+∠ACE=135°.∵∠ACD+∠D=180°,∠ACD+∠A=180°,∴AC∥DM,CD∥AM,∴四边形ACDM是平行四边形.又∵AC=CD,∴四边形ACDM是菱形.[素养提升]解1重叠部分的四边形是菱形.理由如下∵两纸条对边平行,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D.如图,过点A作AE⊥BC于点E,作AF⊥CD于点F,则AE=AF.在△ABE和△ADF中,∵∠B=∠D,∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF,∴△ABE≌△ADFA.A.S.,∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形,即重叠部分的四边形是菱形.2
①当d=1,∠α=45°时,∠ADF=45°,AF=1cm,而AF⊥CD,∴△ADF是等腰直角三角形且AF=DF.又∵AD2=AF2+DF2,∴AD=cm,∴DC=AD=cm,∴重叠部分的面积=DC·AF=×1=cm2.
②当d=,∠α=60°时,∠ADF=60°,AF=cm,连结AC,易证△ADC为等边三角形,根据等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理可得AD=DC=2cm,∴重叠部分的面积=DC·AF=2×=2cm2.。