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课时作业七[
1.4 第1课时 角平分线的性质]
一、选择题1.xx·台州如图K-7-1,P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是 图K-7-1A.2B.3C.D.42.如图K-7-2,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则对于∠1和∠2的大小关系,下列说法正确的是 图K-7-2A.一定相等B.一定不相等C.当BD=CD时相等D.当DE=DF时相等3.如图K-7-3,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P是 图K-7-3A.线段CD的中点B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点4.如图K-7-4,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.则下列结论中不一定成立的是 图K-7-4A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP5.xx·枣庄如图K-7-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积为 图K-7-5A.15B.30C.45D.606.如图K-7-6,已知△ABC的角平分线BO,CO交于点O,连接AO并延长交BC于点D,OH⊥BC于点H.若∠BAC=60°,OH=3cm,则OA的长为 图K-7-6A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm
7.如图K-7-7,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线相交于点E.若点P在△EBC内部,且使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P 图K-7-7A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成△EBC的∠BEC的平分线点E除外D.组成△EBC的∠BEC的平分线所在的直线点E除外8.△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为6cm,4cm,4cm,P为三条角平分线的交点,则△ABP,△BCP,△ACP的面积比为 A.1∶1∶1 B.2∶2∶3C.2∶3∶2D.3∶2∶2
二、填空题9.如图K-7-8,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D.若QC=QD,则∠AOQ=________°.图K-7-810.如图K-7-9,O是△ABC内一点,且点O到三边的距离相等.若∠A=50°,则∠BOC=________°.图K-7-911.如图K-7-10,BD是∠ABC的平分线,P,Q分别是BD,BC上的点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则PQ的最小值为______cm.图K-7-1012.如图K-7-11,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB=________°.图K-7-11
三、解答题13.如图K-7-12,铁路OA和铁路OB相交于O处,河道AB与两条铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M在A,B之间,且到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置?请在图中标出点M的位置.图K-7-1214.如图K-7-13,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分线段AB.1试找出图中相等的线段,并说明理由;2若DE=1cm,BD=2cm,求AC的长.图K-7-1315.如图K-7-14,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD交BE于点O.1若OC=OB,求证点O在∠BAC的平分线上;2若点O在∠BAC的平分线上,求证OC=OB.图K-7-14归纳猜想已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角尺的直角顶点与点C重合,它的两条直角边分别与OA,OB相交于点D,E.1如图K-7-15
①,当CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E时,求证CD=CE.2当三角尺绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图
②的情况下,1中的结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.图K-7-15详解详析课堂达标1.[解析]A 如图,过点P作PE⊥OA于点E.∵P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=
2.2.[解析]D 因为DE⊥AB,DF⊥AC,即DE,DF是点D到∠BAC两边的距离,如果DE=DF,根据角平分线的性质定理的逆定理,可知点D在∠BAC的平分线上,所以∠1=∠
2.3.D4.[解析]D 根据角平分线的性质知选项A正确,可证明△OPA≌△OPB,从而知选项B,C正确.5.[解析]B 由题意得AP是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C=90°,∴DE=CD,∴△ABD的面积=AB·DE=×15×4=
30.6.[解析]A 过点O作OE⊥AB于点E.∵BO平分∠ABC,OH⊥BC,∴OE=OH=3cm.过点O作OF⊥AC于点F.又∵CO平分∠ACB,OH⊥BC,∴OF=OH.又∵OE=OH,∴OE=OF.又∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴AO平分∠BAC.∵∠BAC=60°,∴∠BAO=30°,∴AO=2OE=6cm.故选A.7.[解析]C 因为AB=CD,若S△PAB=S△PCD,则AB,CD边上的高必须相等,因此考虑点P所在的位置到AB,CD的距离相等.又因为点P在△EBC内部,所以点P在△EBC的∠BEC的平分线上点E除外.故选C.8.[解析]D ∵P为△ABC的三条角平分线的交点,∴点P到三边AB,BC和CA的距离相等.∵AB∶BC∶CA=3∶2∶2,∴S△ABP∶S△BCP∶S△ACP=AB∶BC∶CA=3∶2∶
2.9.3510.[答案]115[解析]∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°.∵点O到△ABC三边的距离相等,∴O是△ABC角平分线的交点,∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=×130°=65°.在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-65°=115°.故答案为
115.11.412.[答案]35 [解析]如图,过点E作EF⊥AD于点F.∵DE平分∠ADC,∠C=90°,∴EF=EC.∵E是BC的中点,∴EC=EB,∴EB=EF.又∵∠B=90°,EF⊥AD,∴AE平分∠DAB.∵∠CED=35°,∠C=90°,∴∠CDE=90°-35°=55°.∵DE平分∠ADC,∴∠CDA=110°.∵∠B=∠C=90°,∴DC∥AB,∴∠CDA+∠DAB=180°,∴∠DAB=70°,∴∠EAB=∠DAB=35°.
13.解作∠AOB的平分线交AB于点M,则点M为水厂的位置,图略.14.解1图中相等的线段有AD=BD,CD=DE,AE=BE=BC.理由∵DE垂直平分线段AB,∴DE是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD.∵∠C=90°,∴DC⊥BC.又∵DE⊥AB,BD平分∠ABC,∴CD=DE.由勾股定理,得BE2=BD2-DE2,BC2=BD2-CD2,∴BE=BC.∵E为AB的中点,∴AE=BE=BC.2由1知CD=DE=1cm,AD=BD=2cm,∴AC=AD+CD=3cm.15.证明1∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ODB=∠OEC=90°.又∵∠EOC=∠DOB,OC=OB,∴△COE≌△BODAAS,∴OE=OD.又∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴点O在∠BAC的平分线上.2∵CD⊥AB,BE⊥AC点O在∠BAC的平分线上,∴OE=OD,∠OEC=∠ODB=90°.又∵∠EOC=∠DOB,∴△COE≌△BODASA,∴OC=OB.素养提升解1证明∵OM是∠AOB的平分线,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,∴CD=CE.21中的结论仍然成立.证明如图,过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足为H.∵OM为∠AOB的平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°.又∵∠1与∠2都为旋转角,∴∠1=∠
2.在△CKD与△CHE中,∵∠CKD=∠CHE,CK=CH,∠1=∠2,∴△CKD≌△CHE,∴CD=CE.。