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2019人教A版数学必修一
1.
2.1《函数的概念》学案2【预习案】学习目标
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
2.了解构成函数的要素;
3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.学习过程1.课前准备(预习教材P15~P17,找出疑惑之处)复习1放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系?复习2(初中对函数的定义)在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对应,此时y是x的函数,x是自变量,y是因变量.表示方法有解析法、列表法、图象法.【探究案】新课导学※学习探究探究任务一函数模型思想及函数概念问题研究下面三个实例A.一枚炮弹发射,经26秒后落地击中目标,射高为845米,且炮弹距地面高度h(米)与时间t(秒)的变化规律是.B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.年份19911992199319941995…恩格尔系数%
53.
852.
950.
149.
949.9…讨论以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应关系?三个实例有什么共同点?归纳三个实例变量之间的关系都可以描述为,对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都与唯一确定的y和它对应,记作.新知函数定义.设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么称为从集合A到集合B的一个函数(function),记作.其中,x叫自变量,x的取值范围A叫作定义域(domain),与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合叫值域(range).试试
(1)已知,求、、、的值.
(2)函数值域是.反思
(1)值域与B的关系是;构成函数的三要素是、、.
(2)常见函数的定义域与值域.函数解析式定义域值域一次函数二次函数,其中反比例函数探究任务二区间及写法新知设a、b是两个实数,且ab,则叫闭区间;叫开区间;,都叫半开半闭区间.实数集R用区间表示,其中“∞”读“无穷大”;“-∞”读“负无穷大”;“+∞”读“正无穷大”.试试用区间表示.
(1){x|x≥a}=、{x|xa}=、{x|x≤b}=、{x|xb}=.
(2)=.
(3)函数y=的定义域,值域是.(观察法)变式已知函数.
(1)求的值;
(2)求函数的定义域(用区间表示);
(3)求的值.※动手试试练
1.已知函数,求、、的值.练
2.求函数的定义域.三.总结提升※学习小结
①函数模型应用思想;
②函数概念;
③二次函数的值域;
④区间表示.※知识拓展求函数定义域的规则
①分式,则;
②偶次根式,则;
③零次幂式,则.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差【训练案】
1.已知函数,则().A.-1B.0C.1D.
22.函数的定义域是().A.B.C.D.
3.已知函数,若,则a=().A.-2B.-1C.1D.
24.函数的值域是.
5.函数的定义域是,值域是.(用区间表示)课后作业
1.求函数的定义域与值域.
2.已知,.
(1)求的值;
(2)求的定义域;
(3)试用x表示y.§
1.
2.1函数的概念
(2)【预习案】学习目标
1.会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示;
2.掌握判别两个函数是否相同的方法.学习过程一.课前准备(预习教材P18~P19,找出疑惑之处)复习1函数的三要素是、、.函数与y=3x是不是同一个函数?为何?复习2用区间表示函数y=kx+b、y=ax+bx+c、y=的定义域与值域,其中,.【探究案】二.新课导学※学习探究探究任务函数相同的判别讨论函数y=x、y=、y=、y=、y=有何关系?试试判断下列函数与是否表示同一个函数,说明理由?
①=;=
1.
②=x;=.
③=x2;=.
④=|x|;=.小结
①如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数);
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.※典型例题例1求下列函数的定义域(用区间表示).
(1);
(2);
(3).试试求下列函数的定义域(用区间表示).
(1);
(2).小结
(1)定义域求法(分式、根式、组合式);
(2)求定义域步骤列不等式(组)→解不等式(组).例2求下列函数的值域(用区间表示)
(1)y=x-3x+4;
(2);
(3)y=;
(4).变式求函数的值域.小结求函数值域的常用方法有观察法、配方法、拆分法、基本函数法.※动手试试练
1.若,求.练
2.一次函数满足,求.三.总结提升※学习小结
1.定义域的求法及步骤;
2.判断同一个函数的方法;
3.求函数值域的常用方法.※知识拓展对于两个函数和,通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称它为函数和的复合函数,记作.例如由与复合.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差※【训练案】
1.函数的定义域是().A.B.C.RD.
2.函数的值域是().A.B.C.D.R
3.下列各组函数的图象相同的是()A.B.C.D.
4.函数fx=+的定义域用区间表示是.
5.若,则=.课后作业
1.设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积y关于x的函数的解析式,并写出定义域.
2.已知二次函数fx=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件fx-1=f3-x且方程fx=2x有等根,求fx的解析式.§
1.
2.2函数的表示法
(1)【预习案】学习目标
1.明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法),了解三种表示方法各自的优点,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.学习过程一.课前准备(预习教材P19~P21,找出疑惑之处)复习1
(1)函数的三要素是、、.
(2)已知函数,则,=,的定义域为.
(3)分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.复习2初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明.【探究案】二.新课导学※学习探究探究任务函数的三种表示方法讨论结合具体实例,如二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等,说明三种表示法及优缺点.小结解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点简明;给自变量求函数值.图象法用图象表示两个变量之间的对应关系.优点直观形象,反应变化趋势.列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点不需计算就可看出函数值.※典型例题例1某种笔记本的单价是2元,买xx∈{1,2,3,4,5}个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数.变式作业本每本
0.3元,买x个作业本的钱数y(元).试用三种方法表示此实例中的函数.反思例1及变式的函数图象有何特征?所有的函数都可用解析法表示吗?例2邮局寄信,不超过20g重时付邮资
0.5元,超过20g重而不超过40g重付邮资1元.每封x克(0x≤40)重的信应付邮资数y(元).试写出y关于x的函数解析式,并画出函数的图象.变式某水果批发店,100kg内单价1元/kg,500kg内、100kg及以上
0.8元/kg,500kg及以上
0.6元/kg,试写出批发x千克应付的钱数y(元)的函数解析式.试试画出函数fx=|x-1|+|x+2|的图象.小结分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的x,对应法则不同).在生活实例有哪些分段函数的实例?※动手试试练
1.已知,求、的值.练
2.如图,把截面半径为10cm的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的边长为,面积为,把表示成的函数.三.总结提升※学习小结
1.函数的三种表示方法及优点;
2.分段函数概念;
3.函数图象可以是一些点或线段.※知识拓展任意画一个函数y=fx的图象,然后作出y=|fx|和y=f|x|的图象,并尝试简要说明三者(图象)之间的关系.【训练案】※当堂检测(时量5分钟满分10分)计分
1.如下图可作为函数的图象的是().A.B.C.D.
2.函数的图象是().A.B.C.D.
3.设,若,则x=()A.1B.C.D.
4.设函数f(x)=,则=.
5.已知二次函数满足,且图象在轴上的截距为0,最小值为-1,则函数的解析式为.课后作业
1.动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周,设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x,写出P点与A点距离y与x的函数关系式,并画出函数的图象.
2.根据下列条件分别求出函数的解析式.
(1);
(2).§
1.
2.2函数的表示法
(2)【预习案】学习目标
1.了解映射的概念及表示方法;
2.结合简单的对应图示,了解一一映射的概念;
3.能解决简单函数应用问题.学习过程一.课前准备(预习教材P22~P23,找出疑惑之处)复习举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例
①对于任何一个,数轴上都有唯一的点P和它对应;
②对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的和它对应;
③对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;
④某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应.你还能说出一些对应的例子吗?讨论函数存在怎样的对应?其对应有何特点?【探究案】二.新课导学※学习探究探究任务映射概念探究先看几个例子,两个集合A、B的元素之间的一些对应关系,并用图示意.
①,对应法则开平方;
②,,对应法则平方;
③对应法则求正弦.新知一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作“”关键A中任意,B中唯一;对应法则f.试试分析例1
①~
③是否映射?举例日常生活中的映射实例?反思
①映射的对应情况有、,一对多是映射吗?
②函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,即映射.※典型例题例1探究从集合A到集合B一些对应法则,哪些是映射,哪些是一一映射?
(1)A={P|P是数轴上的点},B=R;
(2)A={三角形},B={圆};
(3)A={P|P是平面直角体系中的点},;
(4)A={高一学生},B={高一班级}.变式如果是从B到A呢?试试下列对应是否是集合A到集合B的映射
(1),对应法则是“乘以2”;
(2)A=R*,B=R,对应法则是“求算术平方根”;
(3)R,对应法则是“求倒数”.※动手试试练
1.下列对应是否是集合A到集合B的映射?
(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则;
(2),对应法则除以2得的余数;
(3),,被3除所得的余数;
(4)设;
(5),小于x的最大质数.练
2.已知集合从集合A到集合B的映射,试问能构造出多少映射?三.总结提升※学习小结
1.映射的概念;
2.判定是否是映射主要看两条一条是A集合中的元素都要有对应,但B中元素未必要有对应;二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式.※知识拓展在交通拥挤及事故多发地段,为了确保交通安全,规定在此地段内,车距d是车速v(米/小时)的平方与车身长s(米)的积的正比例函数,且最小车距不得小于车身长的一半.现假定车速为50公里/小时时,车距恰好等于车身上,试写出d关于v的函数关系式(其中s为常数).【训练案】
1.在映射中,,且,则与A中的元素对应的B中的元素为().A.B.C.D.
2.下列对应
①②③不是从集合A到B映射的有().A.
①②③B.
①②C.
②③D.
①③
3.已知,则=()A.0B.C.D.无法求
4.若,则=.
5.已知fx=x21,gx=则f[gx]=.课后作业
1.若函数的定义域为[1,1],求函数的定义域.
2.中山移动公司开展了两种通讯业务“全球通”,月租50元,每通话1分钟,付费
0.4元;“神州行”不缴月租,每通话1分钟,付费
0.6元.若一个月内通话x分钟,两种通讯方式费用分别为(元).
(1)写出与x之间的函数关系式?
(2)一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯方式?§
1.
3.1单调性与最大(小)值
(1)【预习案】学习目标
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
2.能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性;
3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一.课前准备(预习教材P27~P29,找出疑惑之处)引言函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不变的特征呢?复习1观察下列各个函数的图象.探讨下列变化规律
①随x的增大,y的值有什么变化?
②能否看出函数的最大、最小值?
③函数图象是否具有某种对称性?复习2画出函数、的图象.小结描点法的步骤为列表→描点→连线.【探究案】2.新课导学※学习探究探究任务单调性相关概念思考根据、的图象进行讨论随x的增大,函数值怎样变化?当xx时,fx与fx的大小关系怎样?问题一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?新知设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说fx在区间D上是增函数(increasingfunction).试试仿照增函数的定义说出减函数的定义.新知如果函数fx在某个区间D上是增函数或减函数,就说fx在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫fx的单调区间.反思
①图象如何表示单调增、单调减?
②所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系?
③函数的单调递增区间是,单调递减区间是.试试如图,定义在[-55]上的fx,根据图象说出单调区间及单调性.※典型例题例1根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性,并运用定义进行证明.
(1);
(2).变式指出、的单调性.例2物理学中的玻意耳定律(k为正常数),告诉我们对于一定量的气体,当其体积V增大时,压强p如何变化?试用单调性定义证明.小结
①比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号;
②证明函数单调性的步骤第一步设x、x∈给定区间,且xx;第二步计算fx-fx至最简;第三步判断差的符号;第四步下结论.※动手试试练
1.求证的01上是减函数,在是增函数.练
2.指出下列函数的单调区间及单调性.
(1);
(2).3.总结提升※学习小结
1.增函数、减函数、单调区间的定义;
2.判断函数单调性的方法(图象法、定义法).
3.证明函数单调性的步骤取值→作差→变形→定号→下结论.※知识拓展函数的增区间有、,减区间有、.【训练案】
1.函数的单调增区间是()A.B.C.RD.不存在
2.如果函数在R上单调递减,则()A.B.C.D.
3.在区间上为增函数的是()A.B.C.D.
4.函数的单调性是.
5.函数的单调递增区间是,单调递减区间是.课后作业
1.讨论的单调性并证明.
2.讨论的单调性并证明.。