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河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第1章集合与函数概念-
1.备课资料（
1.1集合的含义与表示）［备选例题］【例1】判断下列集合是有限集还是无限集并用适当的方法表示:1被3除余1的自然数组成的集合;2由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;3二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;4设a、b是非零实数求y=的所有值组成的集合.思路分析本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时一要分清元素是什么二要明确元素满足的条件是什么.解1被3除余1的自然数有无数个这些自然数可以表示为3n+1n∈N.用描述法表示为{x|x=3n+1n∈N}.2由题意得满足条件的正整数有:
35711131719.则此集合中的元素有7个用列举法表示为{35711131719}.3满足条件的点有无数个则此集合中有无数个元素可用描述法来表示.通常用有序数对xy表示点那么满足条件的点组成的集合表示为{xy|y=x2+2x-10}.4当ab0时y==-1;当ab0时则a0b0或a0b
0.若a0b0则有y==3;若a0b0则有y==-
1.∴y=的所有值组成的集合共有两个元素-1和
3.则用列举法表示为{-13}.【例2】定义A-B={x|x∈AxB}若M={12345}N={236}试用列举法表示集合N-M.分析:应用集合A-B={x|x∈AxB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N它们的公共元素是
23.集合N中除去元素23还剩下元素6则N-M={6}.答案{6}.设计者张新军2019人教A版数学必修一第1章《集合与函数概念》（
1.1集合的含义与表示）备课资料导入新课思路
1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”那么集合的含义是什么呢这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合引出课题.思路
2.开场白:集合是现代数学的基本语言它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生其实在初中我们已经有所接触比如自然数集、有理数集一元一次不等式x-35的解集这些都是集合.还有我们学过的圆的定义是什么？提问学生圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.推进新课新知探究提出问题教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例这5个实例的共同特征是什么11~20以内的所有质数;2我国古代的四大发明;3所有的安理会常任理事国;4所有的正方形;5北京大学2004年9月入学的全体学生.活动教师组织学生分小组讨论每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果在此基础上师生共同概括出5个实例的特征并给出集合的含义.引导过程:
①一般地指定的某些对象的全体称为集合简称为集集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母ABCD…表示元素常用小写字母abcd…表示.
③集合的表示法:a.自然语言5个实例;b.字母表示法.
④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.
⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A要么a∈A要么aA.
⑦在初中我们学过了一些数的集合国际标准化组织ISO制定了常用数集的记法:自然数集包含零:N正整数集:N*N+整数集:Z有理数集:Q实数集:R.因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合否则会出现混乱的局面.提出问题1请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.2你能写出不等式2-x3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？活动学生回答后教师指出:
①在数学中为书写规范我们把封闭曲线简化为一个大括号然后把元素一一列举出来元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A={01234}.
②描述法:将集合的所有元素都具有的性质满足的条件表示出来写成{x|px}的形式.其中x为元素的一般特征px为x满足的条件.如数集常用{x|px}表示点集常用{xy|pxy}表示.应用示例思路
11.课本第3页例
1.思路分析用相应的数学知识明确集合中的元素再写在大括号内.点评本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集并且元素的个数较少时通常选择列举法表示其特点是非常显明地表示出了集合中的元素是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:1用字母表示集合;2明确集合中的元素;3把集合中所有元素写在大括号“{}”内并写成A={……}的形式.变式训练请试一试用列举法表示下列集合:1A={x∈N|且∈N};2B={y|y=-x2+6x∈Ny∈N};3C={xy|y=-x2+6x∈Ny∈N}.分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.1集合A中元素x满足均为自然数;2集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;3集合C中元素为点抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.答案1A={068};2B={256};3C={061522}.
2.课本第4页例
2.思路分析本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素作为集合中元素的代表符号找到集合中元素的共同特征并把共同特征用数学符号来表达然后写在大括号“{}”内.点评本题主要考查集合的表示方法以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:1用字母分别表示集合和元素2用数学符号表达集合元素的共同特征;3在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值或变化范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合当集合中的元素个数较少时通常用列举法表示.变式训练课本P5练习
2.思路
21.下列所给对象不能构成集合的是A.一个平面内的所有点B.所有大于零的正数C.某校高一4班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客思路分析本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义可知组成集合的元素必须是明确的不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内要么不在这个平面内因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准因而不能判定一个学生到底是不是高个子故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场以及是否买过货物是非常明确的因此它也能组成一个集合.答案C变式训练下列各组对象中不能构成集合的是A.高一1班全体女生B.高一1班全体学生家长C.高一1班开设的所有课程D.高一1班身高较高的男同学分析:判断所给对象能否构成集合的问题只需根据构成集合的条件即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的从而可以构成集合;而D中所给对象不确定原因是找不到衡量学生身高较高的标准故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175cm以上的男同学”则能构成集合.答案D
2.用另一种形式表示下列集合:1{绝对值不大于3的整数};2{所有被3整除的数};3{x|x=|x|x∈Z且x5};4{x|3x-5x+2x2+3=0x∈Z};5{xy|x+y=6x0y0x∈Zy∈Z}.思路分析用列举法与描述法表示集合时一要分清元素是什么二要明确元素满足的条件是什么.答案1{绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3x∈Z}也可表示为{-3-2-10123}.2{x|x=3nn∈Z}.3∵x=|x|∴x≥
0.又∵x∈Z且x5∴{x|x=|x|x∈Z且x5}还可以表示为{01234}.4{-2}.5{1524334251}.变式训练用适当的形式表示下列集合:1绝对值不大于3的整数组成的集合;2所有被3整除的数组成的集合;3方程3x-5x+2x2+3=0实数解组成的集合;4一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案1{x||x|≤3x∈Z}或{-3-2-10123};2{x|x=3nn∈Z};3{-2};4{xy|y=x+6}.
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0a∈R}若A中至少有一个元素求a的取值范围.思路分析对于方程ax2-3x+2=0a∈R的解要看这个方程左边的x2的系数a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的则集合A的元素也不相同所以首先要分类讨论.解当a=0时原方程为-3x+2=0x=符合题意;当a≠0时方程ax2-3x+2=0为一元二次方程则解得a≠0且a≤.综上所得a的取值范围是{a|a≤}.
4.用适当的方法表示下列集合:1方程组的解集;21000以内被3除余2的正整数所组成的集合;3直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;4所有正方形;5直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4y=-
2.故1宜用列举法;2中尽管是有限集但由于它的元素个数较多所以用列举法表示是不明智的故用描述法;3和5也宜用描述法;而4则宜用列举法为好.解1{4-2};2{x|x=3k+2k∈N且x1000};3{xy|x0且y0};4{正方形};5{xy|x-1或x１}.知能训练课本P5练习
1、
2.拓展提升
1.已知A={x∈R|x=abc≠0}用列举法表示集合A.分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号需分类讨论.解题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况可分成以下几种情况讨论:1a、b、c全为正时x=7;2a、b、c两正一负时x=-1;3a、b、c一正两负时x=-1;4a、b、c全为负时x=-
1.∴A={7-1}.注意
2、3中又包括多种情况a、b、c各自的正负情况解题时应考虑全面.
2.已知集合C={x|x=a+ba∈Ab∈B}.1若A={0123}B={6789}求集合C中所有元素之和S;2若A={01234…2005}B={56789}试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;3联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法试求出2中的S.思路分析先用列举法写出集合C然后解决各个小题.答案1列举法表示集合C={6789101112}进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=
63.2列举法表示集合C={567…20132014}由此可得S=5+6+7+…+2013+
2014.3高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=
5050.本题2中S=5+6+7+…+2013+2014=2019×1005=
2029095.课堂小结在师生互动中让学生了解或体会下列问题:1本节课我们学习过哪些知识内容2你认为学习集合有什么意义？3选择集合的表示法时应注意些什么设计感想本节课是集合的起始课采用教师启发引导学生探究学习的教学方法通过创设情境引导探究师生交流最终形成概念获得方法.作业
1.课本P11习题
1.1A组
4.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.。
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