2019人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》（1）（2.1对数与对数运算第2课时）示范教案

2019人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》

（1）（

2.1对数与对数运算第2课时）示范教案导入新课思路

1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织先为植物吸收再为动物吸收只要植物和动物生存着它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后即会停止吸收碳14其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量便可推断其年代半衰期:经过一定的时间变为原来的一半.引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路

2.同学们我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.推进新课新知探究提出问题1整数指数幂的运算性质是什么？2观察以下式子并总结出规律a＞0

①==a2=a;

②==a4=a;

③==a3=a;

④==a5=a.3利用2的规律你能表示下列式子吗？x0mn∈N*且n

1.4你能用方根的意义来解释3的式子吗？5你能推广到一般的情形吗？活动学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质仔细观察特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系教师引导学生体会方根的意义用方根的意义加以解释指点启发学生类比2的规律表示借鉴23我们把具体推广到一般对写正确的同学及时表扬其他学生鼓励提示.讨论结果1整数指数幂的运算性质an=a·a·a·…·aa0=1a≠0;00无意义;a-n=a≠0;am·an=am+n;amn=amn;anm=amn;abn=anbn.2

①a2是a10的5次方根；

②a4是a8的2次方根；

③a3是a12的4次方根；

④a5是a10的2次方根.实质上

①=a

②=a

③=a

④=a结果的a的指数是2435分别写成了形式上变了本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结当根式的被开方数的指数能被根指数整除时根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.3利用2的规律=5=7=a=x.453的四次方根是575的三次方根是7a7的五次方根是axm的n次方根是x.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.5如果a0那么am的n次方根可表示为m=a即a=ma0mn∈N*n

1.综上所述我们得到正数的正分数指数幂的意义教师板书:规定:正数的正分数指数幂的意义是a=ma0mn∈N*n

1.提出问题

①负整数指数幂的意义是怎样规定的

②你能得出负分数指数幂的意义吗

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义

④综合上述如何规定分数指数幂的意义

⑤分数指数幂的意义中为什么规定a＞0去掉这个规定会产生什么样的后果

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢活动学生回想初中学习的情形结合自己的学习体会回答根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质教师在黑板上板书学生合作交流以具体的实例说明a＞0的必要性教师及时作出评价.讨论结果

①负整数指数幂的意义是:a-n=a≠0n∈N*.

②既然负整数指数幂的意义是这样规定的类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是a==a0mn∈N*n

1.

③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零零的负分数指数幂没有意义.

④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=a0mn∈N*n1正数的负分数指数幂的意义是a==a0mn∈N*n1零的正分数次幂等于零零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢如-1=3-1=-1-1=6-12=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时切记要使底数大于零如无a＞0的条件比如式子3a2=|a|同时负数开奇次方是有意义的负数开奇次方时应把负号移到根式的外边然后再按规定化成分数指数幂也就是说负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数而不是负数负数只是出现在指数上.

⑥规定了分数指数幂的意义后指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数rs均有下面的运算性质:

（1）ar·as=ar+sa0rs∈Q

（2）ars=arsa0rs∈Q

（3）a·br=arbra0b0r∈Q.我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题来看下面的例题.应用示例思路1例1求值:

①8;

②25

③-5;

④.活动教师引导学生考虑解题的方法利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式根据题目要求把底数写成幂的形式8写成2325写成52写成2-1写成4利用有理数幂的运算性质可以解答完成后把自己的答案用投影仪展示出来.解

①8=23=2=22=4;

②25=52=5=5-1=;

③-5=2-1-5=2-1×-5=32;

④==-3=.点评本例主要考查幂值运算要按规定来解.在进行幂值运算时要首先考虑转化为指数运算而不是首先转化为熟悉的根式运算如8===

4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a3·;a2·;a

0.活动学生观察、思考根据解题的顺序把根式化为分数指数幂再由幂的运算性质来运算根式化为分数指数幂时要由里往外依次进行把握好运算性质和顺序学生讨论交流自己的解题步骤教师评价学生的解题情况鼓励学生注意总结.解a3·=a3·a=a=a;a2·=a2·a=a=a;=a·a=a=a.点评利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时其顺序是先把根式化为分数指数幂再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示没有特别要求就用分数指数幂的形式来表示但结果不能既有分数指数又有根式也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）:

（1）2ab-6ab÷-3ab;

（2）mn

8.活动先由学生观察以上两个式子的特征然后分析四则运算的顺序是先算乘方再算乘除最后算加减有括号的先算括号内的整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序再解答把自己的答案用投影仪展示出来相互交流其中要注意到

（1）小题是单项式的乘除运算可以用单项式的乘除法运算顺序进行要注意符号第

（2）小题是乘方运算可先按积的乘方计算再按幂的乘方进行计算熟悉后可以简化步骤.解

（1）原式=［2×-6÷-3］ab=4ab0=4a;

（2）mn8=m8n8=mn=m2n-3=.点评分数指数幂不表示相同因式的积而是根式的另一种写法.有了分数指数幂就可把根式转化成分数指数幂的形式用分数指数幂的运算法则进行运算了.本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.变式训练求值:13··;

2.解13··=3·3·3·3=3=32=9；2=====.例4计算下列各式:

（1）÷;

（2）a＞0）.活动先由学生观察以上两个式子的特征然后分析化为同底.利用分数指数幂计算在第

（1）小题中只含有根式且不是同次根式比较难计算但把根式先化为分数指数幂再计算这样就简便多了第

（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算最后写出解答.解

（1）原式=25-125÷25=5-5÷5=5-5=5-5=-5;

（2）==a=a=.思路2例1比较的大小.活动学生努力思考积极交流教师引导学生解题的思路由于根指数不同应化成统一的根指数才能进行比较又因为根指数最大的是6所以我们应化为六次根式然后只看被开方数的大小就可以了.解因为===而125＞123＞121所以.所以.点评把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:1;22××.活动学生观察以上几个式子的特征既有分数指数幂又有根式应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算如果根式中根指数不同也应化成分数指数幂然后分析解答对1应由里往外=对2化为同底的分数指数幂及时对学生活动进行评价.解1=［34×3］=3=3=3=;2=2×3××3×22=2·3=2×3=

6.例3计算下列各式的值:

（1）［ab2-1·ab-3b7］;

（2）;

3.活动先由学生观察以上三个式子的特征然后交流解题的方法把根式用分数指数幂写出利用指数的运算性质去计算教师引导学生强化解题步骤对1先进行积的乘方再进行同底数幂的乘法最后再乘方或先都乘方再进行同底数幂的乘法对

（2）把分数指数化为根式然后通分化简对

（3）把根式化为分数指数进行积的乘方再进行同底数幂的运算.解1原式=ab2ab-3·b=ababb=ab=ab0=a;另解原式=ab-2ab·b=ab=a2b0=a;

（2）原式======;

（3）原式=（ab）-3÷b-4a-1=ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a＞0对于0≤r≤8r∈N*式子8-r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？活动学生审题考虑与本节知识的联系教师引导解题思路把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算即先把根式转化为分数指数幂再进行幂的乘方化为关于a的指数幂的情形再讨论及时评价学生的作法.解8-r·r=a·a=a=a.16-3r能被4整除才行因此r=048时上式为关于a的整数指数幂.点评本题中确定整数的指数幂时可由范围的从小到大依次验证决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.例5已知f（x）=ex－e-xg（x）=ex+e-x.

（1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值；

（2）设f（x）f（y）=4g（x）g（y）=8求的值.活动学生观察题目的特点说出解题的办法整体代入或利用公式建立方程求解未知如果学生有难度教师可以提示引导对

（1）为平方差利用公式因式分解可将代数式化简对2难以发现已知和未知的关系可写出具体算式予以探求.解1［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］·［f（x）－g（x）］=（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4;另解1［f（x）］2－［g（x）］2=ex-e-x2-ex+e-x2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=-4;2f（x）·f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-x+y－ex-y－e-x-y=g（x+y）－g（x－y）=4同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8得方程组解得g（x+y）=6g（x－y）=

2.所以==

3.点评将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（x－y）的方程组从而使问题得以解决这种处理问题的方法在数学上称之为方程法方程法所体现的数学思想即方程思想是数学中重要的数学思想.知能训练课本P54练习

1、

2、

3.［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答教师巡视启发对做得好的同学给予表扬鼓励.

1.1下列运算中正确的是A.a2·a3=a6B.-a23=-a32C.-10=0D.-a23=-a62下列各式

①②③④（各式的n∈Na∈R）中有意义的是A.

①②B.

①③C.

①②③④D.

①③④3等于A.aB.a2C.a3D.a44把根式－2改写成分数指数幂的形式为A.-2a-bB.-2a-bC.-2a-bD.-2a-b5化简（ab）（-3ab）÷（ab）的结果是A.6aB.-aC.-9aD.9a

2.计算

10.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________.2设5x=45y=2则52x-y=________.

3.已知x+y=12xy=9且x＜y求的值.答案

1.1D2B3B4A5C

2.

119283.解==.因为x+y=12xy=9所以x-y2=x+y2-4xy=144-36=108=4×

27.又因为x＜y所以x-y=-2×33=-

63.所以原式=.拓展提升

1.化简.活动学生观察式子特点考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路应对原式进行因式分解根据本题的特点注意到:x-1=x3-13=x-1·x+x+1;x+1=x3+13=x+1·x-x+1;x-x=x［x2-1］=xx-1x+

1.构建解题思路教师适时启发提示.解===x-1+x-x+1-x-x=-x.点拨:解这类题目要注意运用以下公式a-ba+b=a-ba±b2=a±2ab+ba±baab+b=a±b.

2.已知a+a=3探究下列各式的值的求法.1a+a-1;2a2+a-2;

3.解1将a+a=3两边平方得a+a-1+2=9即a+a-1=7;2将a+a-1=7两边平方得a2+a-2+2=49即a2+a-2=47;3由于a-a=a3-a3所以有==a+a-1+1=

8.点拨:对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.课堂小结活动教师本节课同学们有哪些收获请把你的学习收获记录在你的笔记本上同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:1分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=ma0mn∈N*n1正数的负分数指数幂的意义是a==a0mn∈N*n1零的正分数次幂等于零零的负分数指数幂没有意义.2规定了分数指数幂的意义后指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.3有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s均有下面的运算性质:

①ar·as=ar+sa0rs∈Q

②ars=arsa0rs∈Q

③a·br=arbra0b0r∈Q.4说明两点:

①分数指数幂的意义是一种规定我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性其中没有推出关系.

②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化也可以利用an==am来计算.作业课本P59习题

2.1A组

2、

4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用分数指数是指数概念的又一次扩充要让学生反复理解分数指数幂的意义教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解用观察、归纳和类比的方法完成由于是硬性的规定没有合理的解释因此多安排一些练习强化训练巩固知识要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。