2019人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》（1）（幂函数）备课资料

2019人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》

（1）（幂函数）备课资料历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算方面的三大发明吗这就是阿拉伯数字、十进制和对数.研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制其中最大的数是3万印度最早到六世纪末才有十进制.但是目前使用的计数法和阿拉伯数字1234567890是印度人最早开始使用后来传到阿拉伯由阿拉伯人传到欧洲并被欧洲人所接受.十进制位置计数法的诞生是自然数发展史上的一次飞跃同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.16世纪前半叶由于实际的需要对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔NapierJ.1550~1617在球面天文学的三角学研究中首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中阐述了他的对数方法对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯BirggsH.1561~1630所认识他与纳皮尔合作并于1624年出版了《对数算术》一书公布了以10为底的14位对数表并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”一直到18世纪瑞士数学家欧拉EulerL.1707~1783才发现了指数与对数的关系他指出“对数源出于指数”这个见解很快被人们所接受.设计者邓新国本章复习整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型面对纷繁复杂的变化现象我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下综合复习所学知识进行知识梳理和整合同时通过进行知识梳理和整合使学生形成知识网络强化数学思想和方法的运用通过复合函数和抽象函数的复习提高学生的综合能力.三维目标

1.理解指数与对数指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系通过提问提高学生的认知水平为学生塑造良好的数学认知结构.

2.让学生熟悉能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.

3.对复合函数抽象函数有一个新的认识培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.重点难点教学重点指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.教学难点灵活运用函数性质解决有关问题.课时安排1课时教学过程应用示例思路1例1计算:1［

350.5+

0.008÷

0.02×

0.32］÷

0.

06250.25;

（2）.活动学生观察、思考学生观察式子的特点特别是指数和真数的特点教师引导学生考虑题目的思路对有困难的学生及时提示组织学生讨论交流并对学生作及时的评价.解1原式=［3×·2×

0.5+

0.23×÷

0.2］÷

0.54×=［×+52÷］÷

0.5=+10=.

（2）====.点评在指数运算中一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.变式训练如果已知log5427＝a54b＝3如何用a、b表示log10881解法一由54b＝3得log543＝b.所以log10881＝＝==.解法二由log5427=a得54a=27设x=log10881则108x=81所以542×27-1x=3×27即542×54-ax=54b×54a.所以542x-ax=54a+b即2x-ax=a+b.因此得x=.点评解法一是通过指数化成对数再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数再由指数的运算性质计算出结果但解法二运算的技巧性较大.例2已知a＞0a≠1x=求x+n的值.活动学生思考观察题目的特点教师引导学生考虑问题的思路从整体上看应先化简然后再求值要有预见性a与a具有对称性它们的积是常数1为我们解题提供了思路必要时给予提示.x2-1=a+a2-1=a+2·a0+a-1=a-2·a0+a=a-a

2.这时应看到==|a-a|.解将x=a+a代入x2-1得x2-1=a+a2-1=a-a

2.所以==|a-a|x+=a+a+|a-a|=所以x+n=点评运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键要深刻理解这种做法.例3若函数fx的定义域是3］求flog3x的定义域.活动学生思考小组讨论教师引导学生展示思维过程教师评价.根据你的学习经历回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数fx的定义域求抽象函数f［gx］的定义域要借助于fx的定义域来求由于函数fx的定义域是3］所以flog3x中的log3x的范围就是3］从中解出x即为flog3x的定义域.解因为函数fx的定义域为3］所以flog3x中的log3x的范围就是3］即

0.5＜log3x≤3即＜x≤

9.因此函数flog3x定义域为39］.点评求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围对复合函数的定义域要严格注意对应法则.变式训练

1.求函数y=的定义域.

2.求函数fx=的定义域.答案

1.{x|x≠0且x≠1}.

2.{x|x≤0}.思路2例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.活动学生观察思考交流独立解题教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上分母是一个指数式因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数单调区间用复合函数的单调性确定.解函数y=的定义域是全体实数因为y===［x］2≥所以函数的值域为［+∞.设u=x则它在-∞+∞上单调递减而二次函数y=u2在u≤时是减函数在u≥时是增函数令x≤则x≥1令x≥则x≤1所以函数y=在［1+∞上是增函数在-∞1］上是减函数.点评这里求函数值域的方法是配方法求单调区间是用复合函数的单调性确定的.例2已知函数fx=x+.1指出函数的奇偶性并予以证明；2求证对任何xx∈R且x≠0都有fx＞

0.解1因为fx的定义域是不为0的实数关于原点对称又f-x=-x+=x=x-1+=x+=fx所以fx是偶函数.2当x＞0时2x＞1所以fx＞

0.当x＜0时由fx为偶函数有fx=f-x＞

0.所以对一切x∈Rx≠0恒有fx＞

0.点评利用函数的奇偶性常可使解法简化如本题当x＜0时证明fx＞0较繁若注意到fx为偶函数则只需证明当x＞0时fx＞0而这是显然的.知能训练课本P82复习参考题A组

1、

3、

4、

6、

8、

10.拓展提升问题已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点过A作x轴的垂线垂足为E过点B作y轴的垂线交EA于C若C恰好在函数y=log2x的图象上试求A、B、C三点的坐标.活动学生先仔细审题理解题目的含义然后思考交流教师适当时候提示指导.画出函数的图象设出点的坐标由图形间的关系建立方程求解.解先画出函数的图象如图.图2-1设Ax1log8x

1、Bx2log8x2则Cx1log8x

2.因为C在函数y=log2x的图象上所以log8x2=log2x1即log2x2=log2x

1.所以x2=x

13.又=即=所以x1log8x13=x13log8x

1.所以3x1log8x1=x13log8x

1.由x11所以log8x1≠

1.从而有3x1=x

13.所以x1=x2=

3.所以A、B、C三点的坐标分别为Alog

83、B3log

83、Clog

2.课后作业课本P82复习参考题A组

2、

5、

7、

9.设计感想本堂课是对过去学过的一章知识进行复习目的是构建知识体系形成知识网络总结解题的方法规律和思想以便综合运用这些知识使学生能够见题想法见题有法能够做到一题多解触类旁通由于涉及的知识点和方法思想较多所以设计的题目也较多要注意解题方法的总结和提炼希望加快处理速度提高课堂复习效果做到以不变应万变使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.习题详解课本第82页复习参考题A组

1.

（1）11；

（2）；

（3）；

（4）.

2.

（1）原式===;

（2）原式===.

3.

（1）因为lg2=alg3=blog125===所以log125=.

（2）因为log23=alog37=blog1456=====.

4.

（1）（-∞）∪（+∞）;

（2）［0+∞）.

5.

（1）∪（1+∞）;

（2）（-∞2）;

（3）（-∞1）∪（1+∞）.

6.

（1）因为log67log66=1所以log

671.又因为log76log77=1所以log

761.所以log67log

76.

（2）因为log3πlog33=1所以log3π

1.又因为log

20.80所以log3πlog

20.

8.

7.证明

（1）因为f（x）=3x所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.又因为f（x+y）=3x+y所以f（x）·f（y）=f（x+y）.

（2）因为f（x）=3x所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y.又因为f（x-y）=3x-y所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.

8.证明:因为f（x）=lga、b∈（-11）所以f（a）+f（b）=lg=lgf（）=lg（）=lg=lg.所以f（a）+f（b）=f（）.

9.

（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a0且a≠1）.因为点

（0192）、

（2242）在函数图象上所以解得所以y=192×

0.93x即所求函数解析式为y=192×

0.93x.

（2）当x=30℃时y≈22（小时）；当x=16℃时y≈60（小时）即温度在30℃和16℃的保鲜时间约为22小时和60小时.

（3）图象如图图2-

210.解析设所求幂函数的解析式为f（x）=xα因为f（x）的图象过点

（2）所以=2α即2=2α.所以α=.所以f（x）=x（x0）.图略fx为非奇非偶函数；同时它在（0+∞）上是减函数.B组

1.A

2.因为2a=5b=10所以a=log210b=log510所以+=+=lg2+lg5=lg10=

1.

3.

（1）f（x）=a在x∈（-∞+∞）上是增函数.证明任取x1x2∈（-∞+∞）且x1x

2.f（x1）-f（x2）=a-a+=-=.因为x1x2∈（-∞+∞）所以又因为x1x2所以即

0.所以f（x1）-f（x2）0即f（x1）f（x2）.所以函数f（x）=a在（-∞+∞）上是增函数.

（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数则f（-x）+f（x）=0即a+a=0a=+=+=1即存在实数a=1使f（x）=为奇函数.

4.证明:

（1）因为f（x）=g（x）=所以［g（x）］2-［f（x）］2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］==ex·e-x=ex-x=e0=1即原式得证.

（2）因为f（x）=g（x）=所以f（2x）=2f（x）·g（x）=2··=.所以f（2x）=2f（x）·g（x）.

（3）因为f（x）=g（x）=所以g（2x）=［g（x）］2+［f（x）］2=（）2+（）2==.所以g（2x）=［f（x）］2+［g（x）］

2.

5.由题意可知θ1=62θ0=15当t=1时θ=52于是52=15+62-15e-k解得k≈

0.24那么θ=15+47e-

0.24t.所以当θ=42时t≈

2.3;当θ=32时t≈

4.

2.答:开始冷却

2.3和

4.2小时后物体的温度分别为42℃和32℃.物体不会冷却到12℃.

6.1由P=P0e-kt可知当t=0时P=P0;当t=5时P=1-10%）P

0.于是有1-10%P0=P0e-5k解得k=ln

0.9那么P=P0e.所以当t=10时P=P0e=P0eln

0.81=81%P

0.答:10小时后还剩81%的污染物.2当P=50%P0时有50%P0=P0e解得t=≈

33.答:污染减少50%需要花大约33h.3其图象大致如下:图2-3备课资料【备用习题】

1.xx湖南卷函数y=的定义域是A.3+∞B.[3+∞C.4+∞D.[4+∞

2.xx全国卷I已知函数fx=a若fx为奇函数则a=_________.

3.函数y=log2的值域是__________.

4.已知函数y=2x的图象与y=fx的图象关于直线y=x对称则f16=_________.

5.若函数y=log2［ax2+（a-1）x+］的定义域为R则a的取值范围是_________.参考答案

1.D

2.a=

3.［2+∞

4.

45.。