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第1章三角函数章末检测试卷一时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.计算cos-780°的值是 A.-B.-C.D.考点 利用诱导公式求值题点 利用诱导公式求值答案 C解析 cos-780°=cos780°=cos360°×2+60°=cos60°=,故选C.
2.设角α的终边与单位圆相交于点P,则sinα-cosα的值是 A.B.-C.-D.考点 三角函数定义题点 三角函数定义答案 C
3.若sinx·tanx0,则角x的终边位于 A.第
一、二象限B.第
二、三象限C.第
二、四象限D.第
三、四象限考点 三角函数值符号的判断题点 利用三角函数值符号判断角所在象限答案 B
4.函数fx=2cos是 A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为2π的非奇非偶函数D.最小正周期为π的偶函数考点 三角函数奇偶性与周期性的综合应用题点 三角函数奇偶性与周期性的综合应用答案 A解析 fx=2cos=2cos=-2sinx,故fx是最小正周期为2π的奇函数.
5.在直径为20cm的圆中,165°圆心角所对应的弧长为 A.cmB.cmC.cmD.cm考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的弧长公式答案 B解析 ∵165°=×165rad=rad,∴l=×10=cm.
6.已知函数y=sinωx+φω0与直线y=的交点中,距离最近的两点间距离为,那么此函数的周期是 A.B.πC.2πD.4π考点 函数y=Asinωx+φ的性质题点 函数y=Asinωx+φ性质的应用答案 B解析 ωx+φ=+2kπk∈Z或ωx+φ=+2kπk∈Z,|ωx2+φ-ωx1+φ|≥,|x2-x1|≥,令=,得ω=2,T==π.
7.要得到函数y=sin的图像,只需将y=sin的图像 A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度考点 三角函数图像变换题点 平移变换答案 B解析 y=sin=sin,故只需将y=sin的图像向右平移个单位长度.
8.函数y=fx的图像如图所示,则y=fx的解析式为 A.y=sin2x-2B.y=2cos3x-1C.y=sin-1D.y=1-sin考点 由图像求函数y=Asinωx+φ的解析式题点 由图像求函数y=Asinωx+φ的解析式答案 D解析 由题图得=-,∴T=π=,又ω0,∴ω=2,∴y=1+sin2x+φ,当x=时,0=1+sin,∴2×+φ=2kπ-k∈Z,∴φ=2kπ--=2kπ-k∈Z.∴y=1+sin=1-sin=1-sin,故选D.
9.下列函数中,在区间上为减函数的是 A.y=cosxB.y=sinxC.y=tanxD.y=sin考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 对于A,函数y=cosx在区间上是减函数,满足题意;对于B,函数y=sinx在区间上是增函数,不满足题意;对于C,函数y=tanx在区间上是增函数,且在x=时无意义,不满足题意;对于D,函数y=sin在区间上是增函数,不满足题意.故选A.
10.函数y=2sin0≤x≤9的最大值与最小值之和为 A.2-B.0C.-1D.-1-考点 三角函数的值域或最值题点 化为y=Asinωx+φ型求最值答案 A解析 因为0≤x≤9,所以0≤x≤,-≤x-≤-,即-≤x-≤,所以当x-=-时,y=2sin0≤x≤9有最小值2sin=-,当x-=时,y=2sin0≤x≤9有最大值2sin=2,所以最大值与最小值之和为2-.
11.已知角α的终边上有一点P1,3,则的值为 A.1B.-C.-1D.-4考点 利用诱导公式求值题点 综合应用诱导公式求值答案 A解析 根据任意角的三角函数定义,可得tanα=3,所以==tanα-=-=
1.故选A.
12.已知函数fx=sinωx+φ,x=-为fx的零点,x=为y=fx图像的对称轴,且fx在上单调,则ω的最大值为 A.11B.9C.7D.5考点 函数y=Asinωx+φ的性质题点 函数y=Asinωx+φ性质的应用答案 B解析 因为x=-为fx的零点,x=为y=fx的图像的对称轴,所以-=+kTk∈N,即=·T=·,所以ω=4k+1k∈N.又因为fx在上单调,所以-=≤=,即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.设ω0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是.考点 三角函数图像变换题点 平移变换答案 解析 向右平移个单位长度得y=sin+2=sin+
2.∵与原函数图像重合,故-ω=2nπn∈Z,∴ω=-nn∈Z,∵ω0,∴ωmin=.
14.函数y=tansinx的定义域为,值域为.考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的定义域、值域答案 R [tan-1,tan1]解析 因为-1≤sinx≤1,所以tan-1≤tansinx≤tan1,所以y=tansinx的定义域为R,值域为[tan-1,tan1].
15.若fx+2=则f ·f-98=.考点 三角函数与分段函数的综合题点 三角函数与分段函数的综合答案 2解析 f =tan=1,f-98=f-100+2=lg100=2,所以f ·f-98=1×2=
2.
16.有下列说法
①函数y=-cos2x的最小正周期是π;
②终边在y轴上的角的集合是;
③在同一直角坐标系中,函数y=sinx的图像和函数y=x的图像有三个公共点;
④把函数y=3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图像;
⑤函数y=sin在[0,π]上是减函数.其中,正确的说法是.填序号考点 函数y=Asinωx+φ的性质题点 函数y=Asinωx+φ性质的应用答案
①④解析 对于
①,y=-cos2x的最小正周期T==π,故
①对;对于
②,因为k=0时,α=0,角α的终边在x轴上,故
②错;对于
③,作出y=sinx与y=x的图像,可知两个函数只有0,0一个交点,故
③错;对于
④,y=3sin的图像向右平移个单位长度后,得y=3sin=3sin2x,故
④对;对于
⑤,y=sin=-cosx在[0,π]上为增函数,故
⑤错.
三、解答题本大题共6小题,共70分
17.10分化简1+;2cos+cosk∈Z.考点 利用诱导公式化简题点 利用诱导公式化简解 1原式=+=-sinα+sinα=
0.2当k=2n,n∈Z时,原式=cos+cos=cos+cos=cos+cos=cos+cos=2cos.当k=2n+1,n∈Z时,原式=cos+cos=cos+cos=-cos-cos=-2cos.
18.12分已知函数fx=asin+a+b.1当a=1时,求函数fx的递减区间;2当a0时,函数fx在[0,π]上的值域为[2,3],求a,b的值.考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用题点 正弦函数性质的综合应用解 1当a=1时,函数fx=sin+1+b.因为函数y=sinx的递减区间为k∈Z,所以当2kπ+≤x-≤2kπ+k∈Z,即2kπ+≤x≤2kπ+k∈Z时,fx是减函数.所以函数fx的递减区间是k∈Z.2fx=asin+a+b,因为x∈[0,π],所以-≤x-≤,所以-≤sin≤
1.又因为a0,所以a≤asin≤-a,所以a+a+b≤fx≤b.因为函数fx的值域是[2,3],所以a+a+b=2且b=3,解得a=1-,b=
3.
19.12分在已知函数fx=Asinωx+φ,x∈R的图像与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图像上一个最低点为M .1求fx的解析式;2当x∈时,求fx的值域.考点 函数y=Asinωx+φ的性质题点 函数y=Asinωx+φ性质的应用解 1由最低点为M ,得A=
2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为,得=,即T=π,∴ω===
2.由点M 在图像上,得2sin=-2,即sin=-1,故+φ=2kπ-k∈Z,∴φ=2kπ-k∈Z.又φ∈,∴φ=,故fx=2sin.2∵x∈,∴2x+∈,当2x+=,即x=时,fx取得最大值2;当2x+=,即x=时,fx取得最小值-1,故fx的值域为[-1,2].
20.12分已知函数fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0的一系列对应值如表x-fx-1131-1131根据表格提供的数据求函数fx的一个解析式;2根据1的结果,若函数y=fkxk>0的周期为,当x∈时,方程fkx=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.考点 三角函数与方程的解的综合应用题点 三角函数与方程的解的综合应用解 1设fx的最小正周期为T,则T=-=2π,由T=,得ω=1,又解得令ω·+φ=+2kπ,k∈Z,即+φ=+2kπ,k∈Z,取φ=-,所以fx=2sin+
1.2因为函数y=fkx=2sin+1的周期为,又k>0,所以k=
3.令t=3x-,因为x∈,所以t∈,如图,sint=s在上有两个不同的解,则s∈,所以方程fkx=m在x∈时恰好有两个不同的解,则m∈[+1,3,即实数m的取值范围是[+1,
3.
21.12分大风车叶轮最高顶点离地面
14.5m,叶轮旋转所成圆的直径为14m,叶轮以每分钟2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经16s后到达最高点.假设叶轮顶点离地面高度ym与叶轮顶点离地面最低点开始转动的时间ts建立一个数学模型,用函数y=asinωt-b+c来表示,试求出其中四个参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.考点 三角函数模型在物理中的应用题点 三角函数模型在物理中的应用解 ∵叶轮每分钟旋转2周,∴f==.又∵f=,T=,∵f=,∴ω=2πf=2π×=.又∵叶轮旋转所成圆的直径为14m,∴叶轮应该在离圆心上下、左右7m范围内变化,即函数振幅a=
7.根据叶轮顶点从离地面最低点经16s后到达最高点,可得ω16-b=,即b=16-=.圆心离地面高度
7.5m不变,即c=.故函数解析式为y=7sint-+.
22.12分如图,函数y=2cosωx+θ的图像与y轴相交于点0,,且其最小正周期是π.1求θ和ω的值;2已知点A,点P是该函数图像上一点,点Qx0,y0是PA的中点,当y0=,x0∈时,求x0的值.考点 三角函数图像的综合应用题点 三角函数图像的综合应用解 1将0,代入y=2cosωx+θ,得cosθ=,因为0≤θ≤,所以θ=.由最小正周期是π,且ω>0,得ω===
2.2由已知得P,将点P的坐标代入y=2cos中,得cos=.又≤x0≤π,所以≤4x0-≤,所以4x0-=或,解得x0=或.。