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2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布
10.7离散型随机变量及其分布列学案理[知识梳理]1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质1一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xii=12,…,n的概率PX=xi=pi,则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式PX=xi=pi,i=12,…,n表示X的分布列.2离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0i=12,…,n;
②.3.常见离散型随机变量的分布列1两点分布若随机变量X服从两点分布,即其分布列为X01P1-pp,其中p=PX=1称为成功概率.2超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则PX=k=,k=012,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.X01…mP…如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.[诊断自测]1.概念思辨1随机试验的结果与随机变量是一种映射关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应. 2离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. 3离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 4若随机变量X的分布列由下表给出,X25P
0.
30.7则它服从两点分布. 答案 1√ 2√ 3√ 4×2.教材衍化1选修A2-3P49A组T5设离散型随机变量ξ的分布列如下ξ1234P则P=________.答案 解析 P=Pξ=1+Pξ=2=+=.2选修A2-3P49T3从一副52张去掉两张王的扑克牌中任取5张,其中黑桃张数的概率分布公式是________,黑桃不多于1张的概率是________.答案 Pξ=k=k=012345
0.633解析 Pξ=k=k=012345;Pξ≤1=Pξ=0+Pξ=1≈
0.222+
0.411=
0.
633.3.小题热身1袋中有除标号不同外其余均相同的5个钢球,分别标有12345五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能值的个数是 A.25B.10C.9D.5答案 C解析 第一次可取号码为12345中的任意一个,由于是有放回地抽取,第二次也可取号码为12345中的任何一个,两个球的号码之和可能为
2345678910.故选C.2xx·安康质检设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P|X-3|=1=________.答案 解析 由+m++=1,解得m=,P|X-3|=1=PX=2+PX=4=+=.题型1 离散型随机变量分布列的性质 设随机变量ξ的分布列P=akk=12345.1求常数a的值;2求P;3求P.解 由已知分布列为ξPa2a3a4a5a1由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.2P=P+P+Pξ=1=++=,或P=1-P=1-=.3因为ξ只有ξ=,,满足,故P=P+P+P=++=.[条件探究1] 若将典例条件“P=ak,k=12345”变为“Pξ=i=ai,i=123”,求a的值.解 ∵Pξ=i=aii=123∴a+a+a=1,得a=.[条件探究2] 若将典例条件变为“Pξ=n=n=1234.”求P的值.解 ∵Pξ=n=.∴+++=1,∴a=.P=Pξ=1+Pξ=2=.方法技巧1.分布列性质的两个作用1利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.2随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.提醒求分布列中的参数值时,要保证每个概率值均为非负数.2.随机变量X的线性组合的概率及分布列问题1随机变量X的线性组合η=aX+ba,b∈R是随机变量.2求η=aX+b的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.冲关针对训练1.随机变量X的分布列如下X-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P|X|=1=________.答案 解析 a、b、c成等差数列,2b=a+c,又a+b+c=1,∴b=,∴P|X|=1=a+c=.2.设离散型随机变量X的分布列为X01234P
0.
20.
10.
10.3m求12X+1的分布列;2|X-1|的分布列.解 由分布列的性质知0.2+
0.1+
0.1+
0.3+m=1,∴m=
0.
3.首先列表为X012342X+113579|X-1|10123从而由上表得两个分布列为12X+1的分布列2X+113579P
0.
20.
10.
10.
30.32|X-1|的分布列|X-1|0123P
0.
10.
30.
30.3题型2 超几何分布 xx·山东高考在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.1求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;2用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解 1记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则PM==.2由题意知X可取的值为01234,则PX=0==,PX=1==,PX=2==,PX=3==,PX=4==.因此X的分布列为X01234PX的数学期望是EX=0×PX=0+1×PX=1+2×PX=2+3×PX=3+4×PX=4=0+1×+2×+3×+4×=
2.方法技巧1.超几何分布的两个特点1超几何分布是不放回抽样问题.2随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的应用条件及实质1条件
①考察对象分两类;
②已知各类对象的个数;
③从中抽取若干个个体,考察某类个体个数ξ的概率分布.2实质超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.冲关针对训练xx·重庆高考端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.1求三种粽子各取到1个的概率;2设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解 1令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有PA==.2X的所有可能值为012,且PX=0==,PX=1==,PX=2==.综上知,X的分布列为X012P故EX=0×+1×+2×=个.题型3 求离散型随机变量的分布列角度1 与互斥事件有关的分布列问题 xx·安徽高考已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.1求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;2已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用单位元,求X的分布列和均值数学期望.解 1记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则PA==.2X的可能取值为
200300400.PX=200==,PX=300==,PX=400=1-PX=200-PX=300=1--=.故X的分布列为X200300400PEX=200×+300×+400×=350元.角度2 与独立事件或独立重复试验有关的分布列问题 xx·天津高考从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.1记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;2若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解 1随机变量X的所有可能取值为
0123.PX=0=××=,PX=1=××+××+××=,PX=2=××+××+××=,PX=3=××=.所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.2设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为PY+Z=1=PY=0,Z=1+PY=1,Z=0=PY=0PZ=1+PY=1PZ=0=×+×=.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.方法技巧离散型随机变量分布列的求解步骤1.明取值明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.2.求概率要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.3.画表格按规范要求形式写出分布列.4.做检验利用分布列的性质检验分布列是否正确.提醒求随机变量某一范围内取值的概率,要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.冲关针对训练乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求1小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;2两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解 1记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”i=013,则PA3=,PA1=,PA0=1--=.记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”i=013,则PB3=,PB1=,PB0=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,PD=PA3B0+A1B0+A0B1+A0B3=PA3B0+PA1B0+PA0B1+PA0B3=PA3PB0+PA1PB0+PA0PB1+PA0PB3=×+×+×+×=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.2由题意,随机变量ξ可能的取值为012346,由事件的独立性和互斥性,得Pξ=0=PA0B0=×=,Pξ=1=PA1B0+A0B1=PA1B0+PA0B1=×+×=,Pξ=2=PA1B1=×=,Pξ=3=PA3B0+A0B3=PA3B0+PA0B3=×+×=,Pξ=4=PA3B1+A1B3=PA3B1+PA1B3=×+×=,Pξ=6=PA3B3=×=.可得随机变量ξ的分布列为ξ012346P所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.1.xx·天津高考某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为123的人数分别为
334.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.1设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解 1由已知,有PA==.所以,事件A发生的概率为.2随机变量X的所有可能取值为
012.PX=0==,PX=1==,PX=2==.所以,随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望EX=0×+1×+2×=
1.2.xx·山西八校联考某大型汽车城为了了解销售单价单位万元在
[820]内的轿车的销售情况,从xx年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆,获得的所有样本数据按照[810,[1012,[1214,[1416,[1618,
[1820]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.已知样本中销售单价在[1416内的轿车数是销售单价在
[1820]内的轿车数的2倍.1求出x与y,再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;2若将频率视为概率,从这批轿车中有放回地随机抽取3辆,求至少有1辆轿车的销售单价在[1416内的概率;3用分层抽样的方法从销售单价在
[820]内的轿车中共抽取20辆,再从抽出的20辆轿车中随机抽取2辆,X表示这2辆轿车中销售单价在[1012内的轿车的数量,求X的分布列及数学期望EX.解 1样本中轿车的销售单价在[1416内的轿车数是x×2×100=200x,样本中轿车的销售单价在
[1820]内的轿车数是y×2×100=200y,依题意,有200x=2×200y,即x=2y,
①根据频率分布直方图可知
0.1×2+
0.025+x+
0.05+y×2=1,
②由
①②得x=
0.15,y=
0.
075.根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为×
0.025×2+×
0.05×2+×
0.1×2+×
0.15×2+×
0.1×2+×
0.075×2=
0.45+
1.1+
2.6+
4.5+
3.4+
2.85=
14.9万元.2若将频率视为概率,从这批轿车中有放回地随机抽取3辆,则至少有1辆轿车的销售单价在[1416内的概率为1-C
0.30×
0.73=1-
0.343=
0.
657.3因为销售单价在[810,[1012,[1214,[1416,[1618,
[1820]的轿车的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3,故在抽取的20辆轿车中,销售单价在[1012内的轿车有20×=2辆,X的所有可能取值为012,则PX=0==,PX=1===,PX=2==.所以X的分布列为X012PEX=0×+1×+2×=.[重点保分两级优选练]A级
一、选择题1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则PX=0等于 A.0B.C.D.答案 C解析 PX=1=2PX=0,且PX=1+PX=0=
1.所以PX=0=.故选C.2.若某一随机变量X的概率分布如下表,且m+2n=
1.2,则m-的值为 X0123P
0.1mn
0.1A.-
0.2B.
0.2C.
0.1D.-
0.1答案 B解析 由m+n+
0.2=1,又m+2n=
1.2,可得m=n=
0.4,m-=
0.
2.故选B.3.袋中有大小相同的红球6个、白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球时为止,所需要的取球次数为随机变量ξ,则ξ的可能值为 A.12,…,6B.12,…,7C.12,…,11D.123,…答案 B解析 除白球外,其他的还有6个球,因此取到白球时取球次数最少为1次,最多为7次.故选B.4.设X是一个离散型随机变量,其分布列为X-101P
0.51-2qq2则q等于 A.1B.1±C.1-D.1+答案 C解析 由分布列的性质得⇒∴q=1-,故选C.5.已知某一随机变量X的概率分布如下,且EX=
6.9,则a的值为 X4a9Pm
0.
20.5A.5B.6C.7D.8答案 B解析 因为在分布列中,各变量的概率之和为1,所以m=1-
0.2+
0.5=
0.3,由数学期望的计算公式,可得4×
0.3+a×
0.2+9×
0.5=
6.9,a=6,故选B.6.已知离散型随机变量X的分布列为X012P
0.51-2qq则P∈Z= A.
0.9B.
0.8C.
0.7D.
0.6答案 A解析 由分布列性质得
0.5+1-2q+q=1,解得q=
0.3,∴P∈Z=PX=0+PX=1=
0.5+1-2×
0.3=
0.9,故选A.7.xx·泰安模拟若PX≤x2=1-β,PX≥x1=1-α,其中x1x2,则Px1≤X≤x2等于 A.1-α1-βB.1-α+βC.1-α1-βD.1-β1-α答案 B解析 显然PX>x2=β,PXx1=α.由概率分布列的性质可知Px1≤X≤x2=1-PXx2-PXx1=1-α-β.故选B.8.xx·潍坊模拟若随机变量X的分布列为X-2-10123P
0.
10.
20.
20.
30.
10.1则当PXa=
0.8时,实数a的取值范围是 A.-∞,2]B.
[12]C.12]D.12答案 C解析 由随机变量X的分布列,知PX-1=
0.1,PX0=
0.3,PX1=
0.5,PX2=
0.8,则当PXa=
0.8时,实数a的取值范围是12].故选C.9.xx·烟台模拟一只袋内装有m个白球,n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于的是 A.Pξ=3B.Pξ≥2C.Pξ≤3D.Pξ=2答案 D解析 依题意知,是取了3次,所以取出白球应为2个.故选D.10.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个n=1234.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.若η=aξ-2,Eη=1,则a的值为 A.2B.-2C.
1.5D.3答案 A解析 由题意知ξ的可能取值为01234,则ξ的分布列为ξ01234P∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=,∵η=aξ-2,Eη=1,∴aEξ-2=1,∴a-2=1,解得a=
2.故选A.
二、填空题11.设随机变量X等可能取值123,…,n,如果PX4=
0.3,那么n=________.答案 10解析 由于随机变量X等可能取123,…,n.所以取到每个数的概率均为.∴PX4=PX=1+PX=2+PX=3==
0.3,∴n=
10.12.xx·临汾联考口袋中有5只球,编号为12345,从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为________.答案 X345P
0.
10.
30.6解析 X的取值为
345.又PX=3==,PX=4==,PX=5==.∴随机变量X的分布列为X345P
0.
10.
30.613.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数,则Pξ=2=________.答案 解析 ξ可能取的值为0123,Pξ=0==,Pξ=1==,又Pξ=3==,∴Pξ=2=1-Pξ=0-Pξ=1-Pξ=3=1---=.14.如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为
23432.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ,则Pξ≥8=________.答案 解析 解法一由已知,ξ的取值为78910,∵Pξ=7==,Pξ=8==,Pξ=9==,Pξ=10==,∴ξ的概率分布列为ξ78910P∴Pξ≥8=Pξ=8+Pξ=9+Pξ=10=++=.解法二Pξ≥8=1-Pξ=7=.B级
三、解答题15.xx·太原模拟根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示.1已知[3040,[4050,[5060三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求a,b的值;2该电子商务平台将年龄在[3050内的人群定义为高消费人群,其他年龄段的人群定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此3人获得的代金券总和X单位元的分布列与数学期望.解 1由题意可知解得a=
0.035,b=
0.
025.2利用分层抽样从样本中抽取10人,易知其中属于高消费人群的有6人,属于潜在消费人群的有4人.从该10人中抽取3人,此3人所获得的代金券的总和为X单位元,则X的所有可能取值为
150200250300.PX=150==,PX=200==,PX=250==,PX=300==.X的分布列为X150200250300PEX=150×+200×+250×+300×=
210.16.一批产品需要进行质量检验,检验方案是先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.1求这批产品通过检验的概率;2已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X单位元,求X的分布列及数学期望.解 1设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=A1B1∪A2B2,且A1B1与A2B2互斥,所以PA=PA1B1+PA2B2=PA1PB1|A1+PA2PB2|A2=×+×=.2X可能的取值为400500800,并且PX=400=1--=,PX=500=,PX=800=.所以X的分布列为X400500800PEX=400×+500×+800×=
506.
25.17.xx·广州测试班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.1如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?写出算式即可,不必计算出结果2如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩单位分对应如下表学生序号i1234567数学成绩xi60657075858790物理成绩yi70778085908693
①若规定85分以上包括85分为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
②根据上表数据,求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程系数精确到
0.01;若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附线性回归方程y=x+,其中=,=-.xi-2xi-yi-7683812526解 1依据分层抽样的方法,24名女同学中应抽取的人数为×24=4名,18名男同学中应抽取的人数为×18=3名,故不同的样本的个数为CC.2
①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名,∴ξ的取值为
0123.∴Pξ=0==,Pξ=1==,Pξ=2==,Pξ=3==.∴ξ的分布列为ξ0123P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=.
②∵=≈
0.65,=-=83-
0.65×76=
33.
60.∴线性回归方程为y=
0.65x+
33.
60.当x=96时,y=
0.65×96+
33.60=
96.可预测该同学的物理成绩为96分.18.xx·豫北十校联考某高中在招高一新生时,有统一考试招生和自主招生两种方式.参加自主招生的同学必须依次进行“语文”“数学”“科学”三科的考试,若语文达到优秀,则得1分,若数学达到优秀,则得2分,若科学达到优秀,则得3分,若各科未达到优秀,则不得分.已知小明三科考试都达到优秀的概率为,至少一科考试优秀的概率为,数学考试达到优秀的概率为,语文考试达到优秀的概率大于科学考试达到优秀的概率,且小明各科达到优秀与否相互独立.1求小明语文考试达到优秀的概率;2求小明三科考试所得总分的分布列和期望.解 1依题意,设小明语文考试达到优秀的概率为p1,科学考试达到优秀的概率为p2,且p1p2,故解得则小明语文考试达到优秀的概率为.2记小明三科的总得分为X,则X的可能取值为
0123456.PX=0=××=,PX=1=××=,PX=2=××=,PX=3=××+××=,PX=4=××=,PX=5=××=,PX=6=××=.则X的分布列为X0123456PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=.。