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2019版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明
11.2数系的扩充与复数的引入学案文[知识梳理]1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的,即1复数z=a+bi复平面内的点Za,ba,b∈R.2复数z=a+bia,b∈R平面向量.3.复数代数形式的四则运算1运算法则设z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R,则2复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,z1+z2+z3=z1+z2+z3.3复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意z1,z2,z3∈C,有z1·z2=z2·z1,z1·z2·z3=z1·z2·z3,z1z2+z3=z1z2+z1z
3.4复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
②复数减法的几何意义复数z1-z2是-=所对应的复数.4.模的运算性质
①|z|2=||2=z·;
②|z1·z2|=|z1||z2|;
③=.[诊断自测]1.概念思辨1关于x的方程ax2+bx+c=0a,b,c∈R且a≠0一定有两个根. 2若复数a+bi中a=0,则此复数必是纯虚数. 3复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小. 4复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模. 答案 1√ 2× 3× 4√2.教材衍化1选修A1-2P63A组T13在复平面内,复数z=i为虚数单位对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析 z===-i,其对应的点为,在第四象限.故选D.2选修A1-2P61A组T3在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案 C解析 ∵A65,B-23,∴线段AB的中点C24,则点C对应的复数为z=2+4i.故选C.3.小题热身1xx·全国卷Ⅱ= A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案 D解析 ===2-i.故选D.2xx·全国卷Ⅰ设复数z满足=i,则|z|= A.1B.C.D.2答案 A解析 由已知=i,可得z====i,∴|z|=|i|=1,故选A.题型1 复数的有关概念 已知x,y为共轭复数,且x+y2-3xyi=4-6i,求x,y.复数问题实数化.解 设x=a+bia,b∈R,则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得2a2-3a2+b2i=4-6i,根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或方法技巧有关复数的基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关,所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部,即转化为a+bia,b∈R的形式,再从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.见典例.冲关针对训练xx·山西四校联考i是虚数单位,若=a+bia,b∈R,则lga+b的值是 A.-2B.-1C.0D.答案 C解析 因为==-,所以a=,b=-,a+b=1,所以lga+b=0,故选C.题型2 复数的几何意义 xx·全国卷Ⅱ已知z=m+3+m-1i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 A.-31B.-13C.1,+∞D.-∞,-3根据复数z=a+bia,b∈R的几何意义,写出不等式求解.答案 A解析 由已知可得⇒⇒-3m
1.故选A.[条件探究1] 若将典例1中条件“z=m+3+m-1i在复平面内对应的点在第四象限”变为“复数z的共轭复数=1+2ii为虚数单位”,则复数z在复平面内对应的点在第几象限?解 由条件知z=1-2i,其在复平面内对应的点为1,-2,在第四象限.[条件探究2] 若将典例1中条件变为“复数1-ia+i在复平面内对应的点在第二象限”,求实数a的取值范围.解 ∵复数1-ia+i=a+1+1-ai在复平面内对应的点在第二象限,∴∴a-
1.即实数a的取值范围是-∞,-1. xx·全国卷Ⅲ设复数z满足1+iz=2i,则|z|= A.B.C.D.2先求z的代数形式,再求|z|.答案 C解析 由1+iz=2i得z==1+i,∴|z|=.故选C.方法技巧复数几何意义及应用1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bia,b∈R⇔Za,b⇔.见典例
1.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.3.|z|的几何意义令z=x+yix,y∈R,则|z|=,由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义;|z1-z2|的几何意义是复平面内表示复数z1,z2的两点之间的距离.见典例
2.冲关针对训练1.xx·全国卷Ⅱ设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2= A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案 A解析 由题意得z2=-2+i,∴z1z2=2+i-2+i=-5,故选A.2.若复数z满足
①|z|≥1;
②|z+i|≤|-1-2i|,则z在复平面内所对应的图形的面积为________.答案 4π解析 设z=x+yix,y∈R,由|z|≥1及|z+i|≤|-1-2i|易得x2+y2≥1及x2+y+12≤5知z在复平面内对应图形的面积为5π-π=4π.题型3 复数的代数运算 xx·全国卷Ⅲ若z=1+2i,则= A.1B.-1C.iD.-i先作乘法z·运算,然后作除法运算.答案 C解析 ∵z=1+2i1-2i=5,∴==i,故选C.方法技巧1.加减乘除运算法则1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.2记住以下结论,可提高运算速度
①1±i2=±2i;
②=i;
③=-i;
④=b-ai;
⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-in∈N.2.复数方程要求解,运用概念相等来解决解决复数与三角函数、方程等综合问题,关键是抓住复数的实部、虚部,运用好复数的概念来解决问题.冲关针对训练+xx=________.答案 2i解析 原式=+1009=i+1009=i+i1009=i+i4×252+1=i+i=2i.1.xx·全国卷Ⅰ设有下面四个命题p1若复数z满足∈R,则z∈R;p2若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;p4若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为 A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案 B解析 设z=a+bia,b∈R,z1=a1+b1ia1,b1∈R,z2=a2+b2ia2,b2∈R.对于p1,若∈R,即=∈R,则b=0且a≠0⇒z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题.对于p2,若z2∈R,即a+bi2=a2+2abi-b2∈R,则ab=
0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∈/R,所以p2为假命题.对于p3,若z1z2∈R,即a1+b1ia2+b2i=a1a2-b1b2+a1b2+a2b1i∈R,则a1b2+a2b1=
0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b
2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0⇒=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.2.xx·安徽安庆模拟设i是虚数单位,如果复数的实部与虚部相等,那么实数a的值为 A.B.-C.3D.-3答案 C解析 =,由题意知2a-1=a+2,解之得a=
3.故选C.3.xx·浙江高考已知a,b∈R,a+bi2=3+4ii是虚数单位,则a2+b2=________,ab=________.答案 5 2解析 a+bi2=a2-b2+2abi.由a+bi2=3+4i,得解得a2=4,b2=
1.所以a2+b2=5,ab=
2.4.xx·天津高考已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为________.答案 -2解析 ∵a∈R,===-i为实数,∴-=0,∴a=-
2.[基础送分提速狂刷练]
一、选择题1.xx·湖南长沙四县联考i是虚数单位,若复数z满足zi=-1+i,则复数z的实部与虚部的和是 A.0B.1C.2D.3答案 C解析 复数z满足zi=-1+i,可得z===1+i.故复数z的实部与虚部的和是1+1=2,故选C.2.xx·湖北优质高中联考已知复数z=1+ii是虚数单位,则-z2的共轭复数是 A.-1+3iB.1+3iC.1-3iD.-1-3i答案 B解析 -z2=-1+i2=-2i=1-i-2i=1-3i,其共轭复数是1+3i,故选B.3.xx·河南洛阳模拟设复数z满足=|1-i|+ii为虚数单位,则复数z= A.-iB.+iC.1D.-1-2i答案 A解析 复数z满足=|1-i|+i=+i,则复数z=-i.故选A.4.xx·广东测试若z=a-+ai为纯虚数,其中a∈R,则= A.iB.1C.-iD.-1答案 C解析 ∵z为纯虚数,∴∴a=,∴====-i.故选C.5.xx·安徽江南十校联考若复数z满足z1-i=|1-i|+i,则z的实部为 A.B.-1C.1D.答案 A解析 由z1-i=|1-i|+i,得z===+i,z的实部为,故选A.6.xx·安徽十校联考若z=,则|z|= A.B.1C.5D.25答案 B解析 解法一z===-i,故|z|=
1.故选B.解法二|z|====
1.故选B.7.xx·河南百校联盟模拟已知复数z的共轭复数为,若1-2i=5-ii为虚数单位,则在复平面内,复数z对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析 依题意,设z=a+bia,b∈R,则+=2a+bi,故2a+bi==1+i,故a=,b=,则在复平面内,复数z对应的点为,位于第一象限.故选A.8.xx·新乡、许昌、平顶山调研复数z1,z2满足z1=m+4-m2i,z2=2cosθ+λ+3sinθim,λ,θ∈R,并且z1=z2,则λ的取值范围是 A.B.C.D.答案 C解析 由复数相等的充要条件,可得化简得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-41-sin2θ-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=42-,因为sinθ∈[-11],所以λ∈.故选C.9.对于复数z1,z2,若z1-iz2=1,则称z1是z2的“错位共轭”复数,则复数-i的“错位共轭”复数为 A.--iB.-+iC.+iD.+i答案 D解析 由z-i=1,可得z-i==+i,所以z=+i.故选D.10.已知z=a+bia,b∈R,i是虚数单位,z1,z2∈C,定义Dz=||z||=|a|+|b|,Dz1,z2=||z1-z2||,给出下列命题1对任意z∈C,都有Dz0;2若是复数z的共轭复数,则D=Dz恒成立;3若Dz1=Dz2z1,z2∈C,则z1=z2;4对任意z1,z2,z3∈C,结论Dz1,z3≤Dz1,z2+Dz2,z3恒成立.其中真命题为 A.1234B.234C.24D.23答案 C解析 对于1,由定义知当z=0时,Dz=0,故1错误,排除A;对于2,由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数,所以D=Dz恒成立,故2正确;对于3,两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等,所以两个复数也不一定相等,故3错误,排除B,D,故选C.
二、填空题11.xx·江苏高考已知复数z=1+i1+2i,其中i是虚数单位,则z的模是________.答案 解析 解法一∵z=1+i1+2i=1+2i+i-2=-1+3i,∴|z|==.解法二|z|=|1+i||1+2i|=×=.12.xx·天津高考已知a,b∈R,i是虚数单位.若1+i1-bi=a,则的值为________.答案 2解析 由1+i1-bi=a得1+b+1-bi=a,则解得所以=
2.13.xx·北京高考设a∈R.若复数1+ia+i在复平面内对应的点位于实轴上,则a=________.答案 -1解析 1+ia+i=a-1+a+1i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-
1.14.若虚数z同时满足下列两个条件
①z+是实数;
②z+3的实部与虚部互为相反数.则z=________.答案 -1-2i或-2-i解析 设z=a+bia,b∈R,b≠0,则z+=a+bi+=a+bi.又z+3=a+3+bi实部与虚部互为相反数,z+是实数,根据题意有因为b≠0,所以解得或所以z=-1-2i或z=-2-i.
三、解答题15.xx·徐汇区校级模拟已知z是复数,z+2i与均为实数i为虚数单位,且复数z+ai2在复平面上对应点在第一象限.1求z的值;2求实数a的取值范围.解 1设z=x+yix,y∈R,又z+2i=x+y+2i为实数,∴y+2=0,解得y=-
2.∴===,∵为实数,∴=0,解得x=
4.∴z=4-2i.2∵复数z+ai2=[4+a-2i]2=16-a-22+8a-2i=12+4a-a2+8a-16i,∴解得2a6,即实数a的取值范围是26.16.xx·孝感期末已知复数z=m-1+2m+1im∈R.1若z为纯虚数,求实数m的值;2若z在复平面内的对应点位于第二象限,求实数m的取值范围及|z|的最小值.解 1∵z=m-1+2m+1im∈R为纯虚数,∴m-1=0且2m+1≠0,∴m=
1.2z在复平面内的对应点为m-12m+1.由题意得∴-m1,即实数m的取值范围是.而|z|===,当m=-∈时,|z|min==.。