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2.
6.1 曲线与方程在平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中.问题1直线y=x上任一点M到两坐标轴距离相等吗?提示相等.问题2到两坐标轴距离相等的点都在直线y=x上,对吗?提示不对.问题3到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?提示y=±x.曲线的方程和方程的曲线如果曲线C上的点的坐标x,y都是方程fx,y=0的解,且以方程fx,y=0的解x,y为坐标的点都在曲线C上,那么,方程fx,y=0叫做曲线C的方程,曲线C叫做方程fx,y=0的曲线.正确理解曲线与方程的概念1定义中的条件1阐明了曲线具有纯粹性或方程具有完备性,即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外;条件2阐明了曲线具有完备性或方程具有纯粹性,即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏.2曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.曲线与方程的概念[例1] 如果曲线C上的点满足方程Fx,y=0,有以下说法
①曲线C的方程是Fx,y=0;
②方程Fx,y=0的曲线是C;
③坐标满足方程Fx,y=0的点在曲线C上;
④坐标不满足方程Fx,y=0的点不在曲线C上.其中正确的是________.填序号[思路点拨] 根据曲线与方程的概念进行判断.[精解详析] 依据曲线的方程及方程的曲线的定义,曲线上的点应具备纯粹性和完备性.由已知条件,只能说具备纯粹性,但不一定具备完备性.[答案]
④[一点通] 判定曲线和方程的对应关系,必须注意两点1曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.1.判断下列结论的正误,并说明理由.1过点A30且垂直于x轴的直线的方程为x=3;2到y轴距离为2的点的直线方程为x=-
2.解1正确.理由如下∵满足曲线方程的定义.∴结论正确.2错误.理由如下∵到y轴距离为2的点的直线方程还有一个,∴结论错误.
2.下列方程表示如图所示的直线c,对吗?为什么?1-=0;2x2-y2=0;3|x|-y=
0.解第1题中,曲线C上的点不全都是方程-=0的解,如点-1,-1等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论;第2题中,尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”,但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在曲线C上,如点2,-2等,即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论;第3题中,类似12得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.事实上,123中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况点与曲线的位置关系[例2] 方程x-4y-12[-3+log2x+2y]=0的曲线经过点A0,-
3、B
04、C、D80中的________个.[思路点拨] 方程表示两条直线x-4y-12=0和x+2y-8=0,但应注意对数的真数大于0,即x+2y
0.[精解详析] 由对数的真数大于0,得x+2y0,∴A0,-
3、C,-不符合要求;将B04代入方程检验,符合要求;将D80代入方程检验,符合要求.[答案] 2[一点通] 点与实数解建立了如下关系C上的点x0,y0fx,y=0的解,曲线上的点的坐标都是这个方程的解,因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.3.已知直线l x+y+3=0,曲线C x-12+y+32=4,若P1,-1,则点P与l、C的关系是________.解析由1-1+3≠0,∴P不在l上,即P∉l;又1-12+-1+32=4,∴点P在曲线C上,即P∈C.答案P∉l,P∈C4.证明圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M13,-
4、M2-2,2是否在这个圆上.解1设Mx0,y0是圆上任意一点,因为点M到原点的距离等于5,所以=5,也就是x+y=25,即x0,y0是方程x2+y2=25的解.2设x0,y0是方程x2+y2=25的解,那么x+y=25,两边开方取算术平方根,得=5,即点Mx0,y0到原点的距离等于5,点Mx0,y0是这个圆上的点.由
1、2可知,x2+y2=25是圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程.把点M13,-4的坐标代入方程x2+y2=25,左右两边相等,3,-4是方程的解,所以点M1在这个圆上;把点M2-2,2的坐标代入方程x2+y2=25,左右两边不等,-2,2不是方程的解,所以点M2不在这个圆上.坐标法在求曲线的方程中的应用[例3] 如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程精确到1m.[思路点拨] 按照对称建系,把中心放在坐标原点上,焦点放在坐标轴上,然后用待定系数法求解.[精解详析] 如图,建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy,使小圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合.这时,上、下口的直径CC′,BB′都平行于x轴,且CC′=13×2,BB′=25×
2.设双曲线的方程为-=1a>0,b>0,易知a=12,令点C的坐标为13,y,则点B的坐标为25,y-55.因为点B,C在双曲线上,所以由方程
②,得y=负值舍去,代入方程
①,得-=1,化简得19b2+275b-18150=
0.
③用计算器解方程
③,得b≈
25.所以,所求双曲线的方程为-=
1.[一点通] 对于此类已知曲线类型求曲线方程的实际应用问题,求解的关键是建立适当的平面直角坐标系,利用待定系数法求解.采用此法要善于联系平面图形的性质,建立恰当的直角坐标系.
5.一种卫星接收天线的轴截面如图,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为
4.8m,深度为
0.5m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程.解如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点即抛物线的顶点与原点重合.设抛物线的标准方程是y2=2pxp>0.由已知条件可得,点A的坐标是
0.5,
2.4,代入方程,得
2.42=2p×
0.5,即p=
5.
76.所以,所求抛物线的标准方程是y2=
11.52x.1.理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意1曲线上点的坐标都是这个方程的解.2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,二者缺一不可.2.点Px0,y0在曲线fx,y=0上的充要条件是fx0,y0=
0.[对应课时跟踪训练十五] 1.曲线C的方程为y=x1≤x≤5,则下列四点中在曲线C上的序号是________.
①00;
②;
③15;
④44.解析∵y=x1≤x≤5,∴44在曲线C上.答案
④2.若P2,-3在曲线x2-ay2=1上,则a的值为________.解析∵P2,-3在曲线x2-ay2=1上,∴4-9a=1,解得a=.答案3.以下各组方程表示的曲线相同的是________填序号.
①x2=y2与y=|x|
②y=与y=10lgx
③xy=1与y=
④=1与=1解析
①、
②、
③中方程表示的曲线不相同.答案
④4.方程x+y-1=0所表示的曲线是________.解析由题意,得或x=1,故方程表示的是一条射线与一条直线.答案一条射线与一条直线5.若点Mm,m在曲线x-y2=0上,则m的值为________.解析∵点M在曲线x-y2=0上,∴m-m2=0,解得m=0或m=
1.答案0或16.下列命题是否正确?若不正确,说明原因.1过点A20平行于y轴的直线l的方程是|x|=2;2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x.解1错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l上,直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分.2错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x和y=-x,故命题错误.7.已知方程x2+y-12=
10.1判断P1,-2,Q,3两点是否在此方程表示的曲线上;2若点M,-m在此方程表示的曲线上,求m的值.解1因为12+-2-12=10,而2+3-12≠
10.所以点P1,-2在方程表示的曲线上,点Q,3不在方程表示的曲线上.2因为点M在方程x2+y-12=10表示的曲线上,所以2+-m-12=10,解得m=2或m=-.
8.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,AM=,AN=3,且BN=6,建立适当的坐标系,求曲线C的方程.解如图,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,点O为坐标原点.依题意可设曲线C的方程为y2=2pxp0,则p=MN.由题意知x1≤x≤x2,y0,其中x
1、x2分别为A、B的横坐标.∵M、N,AM=,AN=3,∴解得或∵△AMN为锐角三角形,∴x1,故舍去∴由点B在曲线C上,得x2=BN-=
4.综上得,曲线C的方程为y2=8x1≤x≤4,y0.。