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2.
2.2直线与圆的位置关系[学业水平训练]1.经过点1,-7且与圆x2+y2=25相切的直线方程为________.解析设切线的斜率为k,则切线方程为y+7=kx-1,即kx-y-k-7=
0.∴=
5.解得k=或k=-.∴所求切线方程为y+7=x-1或y+7=-x-1.即4x-3y-25=0或3x+4y+25=
0.答案4x-3y-25=0或3x+4y+25=02.圆心坐标为2,-1的圆在直线x-y-1=0上截得的弦长为2,则此圆的方程为________.解析圆心到直线的距离d==,由于弦心距d、半径r及弦长的一半构成直角三角形,所以r2=d2+2=4,所以所求圆的方程是x-22+y+12=
4.答案x-22+y+12=43.若直线ax+by+1=0与圆C x2+y2=1相交,则点Pa,b与圆C的位置关系是________.解析由题意1,∴a2+b21,点Pa,b到圆心的距离为=1=r,∴点P在圆C外.答案点P在圆C外4.过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.解析设Px,y,则由已知可得OPO为原点与切线的夹角为30°,则OP=2,由,可得.故点P的坐标是,.答案,5.圆x+12+y+22=8上到直线x+y+1=0的距离为的点的个数为________.解析圆心-1,-2到直线x+y+1=0的距离d==,又圆半径r=2,所以满足条件的点共有3个.答案36.过点A1,的直线l将圆x-22+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k等于________.解析由1-22+2=34可知,点A1,在圆x-22+y2=4的内部,圆心为O20,要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l⊥OA,所以kl=-=-=.答案7.已知圆C x2+y2-8y+12=0,直线l ax+y+2a=
0.1当a为何值时,直线l与圆C相切?2当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.解将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+y-42=4,则此圆的圆心为04,半径为
2.1若直线l与圆C相切,则有=
2.解得a=-.即当a=-时,直线l与圆C相切.2法一过圆心C作CD⊥AB于点D,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7或a=-
1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=
0.法二联立方程组并消去y,得a2+1x2+4a2+2ax+4a2+4a+3=
0.设此方程的两根分别为x1,x2,由AB=2=,可求出a=-7或a=-
1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=
0.8.已知圆C x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解设这样的直线存在,其方程为y=x+m,它与圆C的交点设为Ax1,y
1、Bx2,y2.则由得2x2+2m+1x+m2+4m-4=0*∴∴y1y2=x1+mx2+m=x1x2+mx1+x2+m
2.∵以弦AB为直径的圆过原点,∴∠AOB=90°,即OA⊥OB.由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=
0.∴2x1x2+mx1+x2+m2=
0.m2+4m-4-mm+1+m2=
0.m2+3m-4=
0.∴m=1或m=-
4.容易验证m=1或m=-4时*有实根.故存在这样的直线,有两条,其方程为y=x+1或y=x-
4.[高考水平训练]1.已知圆C过点10,且圆心在x轴的正半轴上.直线l y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________.解析设圆心坐标为x00x00,由于圆过点10,则半径r=|x0-1|.圆心到直线l的距离为d=.由弦长为2可知2=x0-12-2,整理得x0-12=
4.∴x0-1=±2,∴x0=3或x0=-1舍去.因此圆心为30,由此可求得过圆心且与直线y=x-1垂直的直线方程为y=-x-3,即x+y-3=
0.答案x+y-3=02.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.解析由题设,得若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心00到直线的距离d满足0≤d<
1.∵d==,∴0≤|c|<13,即c∈-1313.答案-13133.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.1求圆C的方程;2若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解1曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为01与x轴的交点为3+2,0,3-2,0.故可设C的圆心为3,t,则有32+t-12=22+t2,解得t=
1.则圆C的半径为=
3.所以圆C的方程为x-32+y-12=
9.2设Ax1,y1,Bx2,y2,其坐标满足方程组消去y,得方程2x2+2a-8x+a2-2a+1=
0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>
0.从而x1+x2=4-a,x1x2=.
①由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=
0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+ax1+x2+a2=
0.
②由
①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-
1.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1x+32+y-12=4和圆C2x-42+y-52=
4.1若直线l过点A40,且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;2设P为平面上的点,满足存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解1由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-4,即kx-y-4k=0,所以圆心C1-31到直线l的距离d==1,由点到直线的距离公式得=1,化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-.所以直线l的方程为y=0或y=-x-4,即y=0或7x+24y-28=
0.2设点P的坐标为m,n,直线l1,l2的方程分别为y-n=kx-m,y-n=-x-m,即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=
0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等,由垂径定理,得圆心C1-31到直线l1的距离与圆心C245到直线l2的距离相等,故有=,化简得2-m-nk=m-n-3或m-n+8k=m+n-5,关于k的方程有无穷多解,有或,解得或,故点P的坐标为,-或-,.。