2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何

8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理[知识梳理]1．直线与圆的位置关系设直线l Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠0，圆x－a2＋y－b2＝r2r0，d为圆心a，b到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02．圆与圆的位置关系设圆O1x－a12＋y－b12＝rr10，圆O2∶x－a22＋y－b22＝rr20．方法位置关系几何法圆心距d与r1，r2的关系代数法两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|r1≠r2一组实数解内含0≤d|r1－r2|r1≠r2无解3．必记结论当直线与圆相交时，由弦心距圆心到直线的距离，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．1两圆相交时公共弦的方程设圆C1x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，

①圆C2x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，

②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由

①－

②所得，即D1－D2x＋E1－E2y＋F1－F2＝

0.2两个圆系方程

①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0λ∈R；

②过圆C1x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0λ≠－1其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解．3弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝.[诊断自测]1．概念思辨1“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．　　2过圆O x2＋y2＝r2上一点Px0，y0的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r

2.　　3如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．　　4从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．　　答案　1×　2√　3×　4√2．教材衍化1必修A2P128T3直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为　　A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离答案　B解析　圆心00到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，而01，故选B.2必修A2P133A组T9圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．答案　2解析　由得x－y＋2＝

0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为

2.3．小题热身1xx·西安调研若直线x－y＋1＝0与圆x－a2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是　　A．[－3，－1]B．[－13]C．[－31]D．－∞，－3]∪[1，＋∞答案　C解析　由题意可得，圆的圆心为a0，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤

1.故选C.2xx·湖南高考若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2r0相交于A，B两点，且∠AOB＝120°O为坐标原点，则r＝________.答案　2解析　如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝

2.题型1　直线与圆的位置关系　　xx·豫南九校联考直线l mx－y＋1－m＝0与圆C x2＋y－12＝5的位置关系是　　A．相交B．相切C．相离D．不确定代数法，几何法．答案　A解析　由消去y，整理得1＋m2x2－2m2x＋m2－5＝0，则Δ＝4m4－41＋m2m2－5＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．故选A.方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法利用d与r的关系．见典例1，典例2答案解法二．2．代数法联立方程之后利用Δ判断．见典例2答案解法一．3．点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．冲关针对训练直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是　　A．，2B．，3C.D.答案　D解析　当直线经过点01时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝切点在第一象限，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m.故选D.题型2　圆与圆的位置关系　　xx·合肥模拟已知圆C1x－a2＋y＋22＝4与圆C2x＋b2＋y＋22＝1相外切，则ab的最大值为　　A.B.C.D．2利用两圆外切圆心距d＝r1＋r2得到a，b关系，再用基本不等式解决问题．答案　C解析　由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即a＋b2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立．故选C.[条件探究1]　将典例中条件“外切”变为“内切”，求ab的最大值．解　由圆C1与圆C2相内切，可得a＋b2＝1，根据基本不等式可知ab≤2＝，所以ab的最大值为.[条件探究2]　将典例中条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆x－a2＋y－b2＝1的位置关系．解　由两圆存在四条公切线，故两圆外离，3，所以a＋b29，即a＋b3或a＋b－

3.又圆心a，b到直线x＋y－1＝0的距离d＝1，所以直线x＋y－1＝0与圆x－a2＋y－b2＝1相离．方法技巧判断圆与圆的位置关系的步骤

1.确定两圆的圆心坐标和半径长；

2.利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；

3.比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．冲关针对训练已知圆C1x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝　　A．－5B．－5或2C．－6D．8答案　B解析　对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1x－m2＋y＋22＝9，圆C2x＋12＋y－m2＝4，则圆C1的圆心C1m，－2，半径r1＝3，圆C2的圆心C2－1，m，半径r2＝

2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．故选B.题型3　直线与圆的综合问题角度1　直线与圆的相切问题　　xx·江西高考在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为　　A.B.C．6－2πD.设AB的中点为C，C为圆心，D为切点，|OC|＝|CD|＝r，要使r最小，则需2r＝|OC|＋|CD|最小．答案　A解析　由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E的长度．由点到直线的距离公式，得OE＝.∴圆C面积的最小值为π2＝.故选A.角度2　与圆有关的弦长问题　　xx·全国卷Ⅲ已知直线l mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.答案　4解析　由题意可知直线l过定点－3，，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A－3，，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线AB的距离为d＝＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝，所以＝3，解得m＝－，所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝

4.角度3　直线与圆位置关系的最值或范围问题　　xx·河北石家庄一模若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为　　A.B.C.D.答案　D解析　由已知可得圆心到直线2ax＋by－2＝0的距离d＝，则直线被圆截得的弦长为2＝2，化简得4a2＋b2＝

4.∴t＝a＝·2a·≤[2a2＋2]＝8a2＋2b2＋1＝，当且仅当时等号成立，即t取最大值，此时a＝舍负．故选D.方法技巧直线与圆综合问题的求法1．圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心到切点的连线垂直于l.见角度1典例．2．圆与直线l相交的情形1圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．见角度2典例．2连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．见角度3典例．3过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．冲关针对训练xx·甘肃兰州双基测试已知AC，BD为圆O x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M1，，则四边形ABCD的面积的最大值为　　A．5B．10C．15D．20答案　A解析　由题意知圆心为O00，半径为

2.设圆心O到AC、BD的距离分别为d1，d2，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则有d＋d＝OM2＝

3.由平面几何知识知|AC|＝2，|BD|＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝2·≤4－d＋4－d＝8－d＋d＝5，即四边形ABCD的面积的最大值为

5.故选A.

1.xx·全国卷Ⅱ若双曲线C－＝1a0，b0的一条渐近线被圆x－22＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为　　A．2B.C.D.答案　A解析　设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，圆的圆心为20，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.根据点到直线的距离公式得＝，解得b2＝3a

2.所以C的离心率e＝＝＝＝

2.故选A.2．xx·安徽芜湖六校联考在平面直角坐标系xOy中，点A03，直线l y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是　　A.B．

[01]C.D.答案　A解析　因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为x－a2＋[y－2a－2]2＝

1.设点Mx，y，因为|MA|＝2|MO|，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋y＋12＝4，所以点M在以D0，－1为圆心，2为半径的圆上．由题意，点Mx，y在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤

3.由≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.3．xx·江苏高考在平面直角坐标系xOy中，以点10为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0m∈R相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案　x－12＋y2＝2解析　由mx－y－2m－1＝0可得mx－2＝y＋1，易知该直线过定点2，－1，从而点10与直线mx－y－2m－1＝0的距离的最大值为＝，故所求圆的标准方程为x－12＋y2＝

2.4．xx·广东五校协作体一模两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．答案　1解析　将x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0化为标准方程得x＋a2＋y2＝4，x2＋y－2b2＝1，依题意得两圆相外切，故＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝＋＋＋≥＋2＝1，当且仅当＝，即a2＝2b2时等号成立，故＋的最小值为

1.[重点保分两级优选练]

一、选择题1．xx·福建漳州八校联考已知点Pa，bab≠0是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么　　A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离答案　C解析　∵点Pa，bab≠0在圆内，∴a2＋b2r

2.因圆x2＋y2＝r2的圆心为O00，故由题意得OP⊥m，又kOP＝，∴km＝－，∵直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C.2．xx·河北衡水中学调研已知向量a＝2cosα，2sinα，b＝3cosβ，3sinβ，若a与b的夹角为120°，则直线6xcosα－6ysinα＋1＝0与圆x－cosβ2＋y＋sinβ2＝1的位置关系是　　A．相交且不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离答案　A解析　由题意可得a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝|a|·|b|cos120°＝2×3×＝－3，所以圆心cosβ，－sinβ到直线6xcosα－6ysinα＋1＝0的距离d＝＝＝1，故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心，故选A.3．xx·重庆高考已知直线l x＋ay－1＝0a∈R是圆C x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A－4，a作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝　　A．2B．4C．6D．2答案　C解析　圆C的标准方程为x－22＋y－12＝22，圆心为C21，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，知直线l过圆心C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A－4，－1，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝＝＝

6.故选C.4．xx·湖南三模直线l x＋4y＝2与圆C x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cosα＋cosβ＝　　A.B．－C．－D.答案　D解析　设Ax1，y1，Bx2，y2，由三角函数的定义得cosα＋cosβ＝x1＋x2，由消去y，得17x2－4x－12＝0，则x1＋x2＝，即cosα＋cosβ＝.故选D.5．xx·湖北模拟已知圆O x2＋y2＝4，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点　　A.B.C．20D．90答案　A解析　因为P是直线x＋2y－9＝0上的动点，所以设P9－2m，m，因为圆x2＋y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A，B在以OP为直径的圆上，设其圆心为C，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是，且半径的平方是r2＝，所以圆C的方程是2＋2＝，

①又x2＋y2＝4，

②②－

①得，2m－9x－my＋4＝0，即公共弦AB所在的直线方程是2m－9x－my＋4＝0，即m2x－y＋－9x＋4＝0，由得x＝，y＝，所以直线AB恒过定点，故选A.6．过点－40作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为　　A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案　B解析　圆的标准方程为x＋12＋y－22＝25，由|AB|＝8知，圆心－12到直线l的距离d＝

3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋4，即kx－y＋4k＝

0.则有＝3，∴k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝

0.故选B.7．xx·湖南四地联考若圆C x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点a，b作圆的切线，则切线长的最小值是　　A．2B．3C．4D．6答案　C解析　圆C的标准方程为x＋12＋y－22＝2，所以圆心为－12，半径为.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，所以点a，b到圆心的距离d＝＝＝＝.所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，故选C.8．xx·安宁模拟已知a，b是实数，若圆x－12＋y－12＝1与直线a＋1x＋b＋1y－2＝0相切，则a＋b的取值范围是　　A．[2－2，2＋]B．－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞C．－∞，－2]∪[2，＋∞D．－∞，－2]∪[2＋2，＋∞答案　B解析　∵圆x－12＋y－12＝1与直线a＋1x＋b＋1y－2＝0相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，即ab＝a＋b＋1，∴a＋b＋1≤，∴a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，故选B.9．xx·定州市校级期末曲线y＝1＋与直线y＝kx－2＋4有两个交点，则实数k的取值范围是　　A.B.C.D.答案　D解析　根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，直线l过A24，B－21，又曲线y＝1＋图象为以01为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过B点时，直线l的斜率为＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为.故选D.10．xx·晋中模拟若圆C1x－m2＋y－2n2＝m2＋4n2＋10mn0始终平分圆C2x＋12＋y＋12＝2的周长，则＋的最小值为　　A.B．9C．6D．3答案　D解析　把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为m＋1x＋2n＋1y＋5＝0，由题意知直线l经过圆C2的圆心－1，－1，因而m＋2n＝

3.∴＋＝m＋2n＝≥5＋4＝3，m＝n时取等号．∴＋的最小值为3，故选D.

二、填空题11．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．答案　－3或7解析　由题意可知，将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度后，所得直线l的方程为2x＋1－y＋λ＝

0.由已知条件知圆的圆心为O－12，半径为.解法一直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离等于圆的半径，即＝，解得λ＝－3或λ＝

7.解法二设直线l与圆相切的切点为Cx，y，由直线与圆相切，可知CO⊥l，所以×2＝－

1.又Cx，y在圆上，满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点坐标为11或－33．又Cx，y在直线2x＋1－y＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝

7.12．过点，0引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．答案　－解析　曲线y＝的图象如图所示．若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k0，设l y＝kx－，则点O到l的距离d＝，又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝≤＝，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝时，S△AOB取得最大值．所以＝.∴k2＝，∴k＝－.13．xx·江苏高考在平面直角坐标系xOy中，A－120，B06，点P在圆O x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．答案　[－5，1]解析　设Px，y，则＝－12－x，－y，＝－x，6－y．∵·≤20，∴－12－x·－x＋－y·6－y≤20，整理得x2＋y2＋12x－6y－20≤0，即x＋62＋y－32≤

65.∴点P在以－63为圆心，为半径的圆面上包括边界，又∵点P在圆O x2＋y2＝50上，∴点P的横坐标的取值范围为[－5，5]．当x＝－5时，y＝0满足x＋62＋y－32≤65，由得2x－y＋5＝

0.代入

②得x2＋4x－5＝0，x1＝－5，x2＝1，∴点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．14．已知圆C1x－2cosθ2＋y－2sinθ2＝1与圆C2x2＋y2＝1，给出下列说法

①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；

②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；

③当θ＝时，圆C1被直线l x－y－1＝0截得的弦长为；

④若P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为

4.其中正确说法的序号为________．填上所有正确说法的序号答案　

①③④解析　对于

①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和此时两圆半径相等，排除内切的可能，由题意知圆C1的半径为1，圆心为2cosθ，2sinθ，圆C2的半径为1，圆心为00，所以两个圆的圆心距为＝＝2，又两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C1和圆C2始终相切，所以

①正确；对于

②，由

①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以

②错误；对于

③，当θ＝时，圆C1的方程为x－2＋y－12＝1，则圆C1的圆心为，1，设其被直线l所截弦为CD，易知圆心到直线l的距离为＝，又圆C1的半径为1，所以弦CD的长为2＝，所以

③正确；对于

④，由

①知两圆相切外切，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和，又圆C1的直径为2，圆C2的直径也为2，所以|PQ|的最大值为2＋2＝4，所以

④正确．

三、解答题15．xx·湖南东部六校联考已知直线l4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．1求圆C的方程；2过点M10的直线与圆C交于A，B两点A在x轴上方，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解　1设圆心Ca0，则＝2⇒a＝0或a＝－5舍．所以圆C的方程为x2＋y2＝

4.2当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－1，Nt0，Ax1，y1，Bx2，y2，由得k2＋1x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－t＋1x1＋x2＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为40时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．16．已知过原点的动直线l与圆C1x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.1求圆C1的圆心坐标；2求线段AB的中点M的轨迹C的方程；3是否存在实数k，使得直线L y＝kx－4与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．解　1因为圆C1x2＋y2－6x＋5＝0可化为x－32＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为30．2由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx，Mx0，y0．由得1＋m2x2－6x＋5＝0，则Δ＝36－201＋m20，解得－m，故x0＝，且x0≤

3.因为m＝，所以x0＝，整理得2＋y＝.所以M的轨迹C的方程为2＋y2＝.3存在实数k，使得直线L y＝kx－4与曲线C只有一个交点．由2得M的轨迹C为一段圆弧，其两个端点为P，Q，直线L y＝kx－4过定点E40，

①kPE＝＝－，kQE＝＝，当－≤k≤时，直线L与曲线C只有一个交点．

②当直线L与曲线C相切时，L的方程可化为kx－y－4k＝0，则＝，解得k＝±.综上所述，当－≤k≤或k＝±时，直线L与曲线C只有一个交点．。