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第2章推理与证明章末检测试卷二时间120分钟 满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分1.下列说法正确的是________.写出全部正确命题的序号
①演绎推理是由一般到特殊的推理;
②演绎推理得到的结论一定是正确的;
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;
④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关.答案
①③④解析 如果演绎推理的大前提和小前提都正确,则结论一定正确,在大前提和小前提中,只要有一项不正确,则结论一定也不正确.故
②错误.2.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说我没去过C城市;丙说我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.答案 A解析 由题意可推断甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过的城市为A.3.已知fx+1=,f1=1x∈N*,猜想fx的表达式为________.答案 fx=x∈N*解析 当x=1时,f2===,当x=2时,f3===,当x=3时,f4===,故可猜想fx=x∈N*.4.观察分析下表中的数据猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是____________________.答案 F+V-E=2解析 在三棱柱中5+6-9=2;在五棱锥中6+6-10=2;在立方体中6+8-12=2,由此可得F+V-E=
2.5.某同学在纸上画出如下若干个三角形△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律,得到一系列的三角形,则在前2015个三角形中▲的个数是________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 62解析 前n个▲中所包含的所有三角形的个数是1+2+3+…+n+n=,由=2015,解得n=
62.
6.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,过点A作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,以此类推,设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=________.答案 解析 根据题意易得a1=2,a2=,a3=1,所以{an}构成a1=2,q=的等比数列,所以a7=a1q6=2×6=.7.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的序号是________.
①两个球体;
②两个长方体;
③两个正四面体;
④两个正三棱柱;
⑤两个正四棱锥.答案
①③解析 类比相似形中的对应边成比例知,
①③属于相似体.8.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边包括两个端点有nn1,n∈N*个点,相应的图案中总的点数记为an,则+++…+=________.答案 解析 由已知图形,可知a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+2+4,a5=1+2+2+2+5,故an等于n个数的和,其中第一个数为1,最后一个数为n,中间的n-2个数为2,所以an=1+2n-2+n=3n-3=3n-1.故===-n1,n∈N*.所以+++…+=+++…+=1-=.9.已知a0,b0,m=lg,n=lg,则m,n的大小关系是________.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 mn解析 ab0⇒0⇒a+b+2a+b⇒+22⇒+⇒⇒lglg.
10.现有一个关于平面图形的命题如图,同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 解析 解法的类比特殊化,可得两个正方体重叠部分的体积为.
11.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点算第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为________.答案 8解析 由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第nn≥2,n∈N*层的点数为6n-1.设一个点阵有nn≥2,n∈N*层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6n-1=1+×n-1=3n2-3n+
1.由题意得3n2-3n+1=169,即n+7·n-8=0,所以n=8,故它的层数为
8.12.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成通过观察可以发现第4个图形中,火柴杆有________根;第n个图形中,火柴杆有________根.答案 13 3n+113.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]其中[x]表示不大于x的最大整数可以表示为________.答案 y=解析 根据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表,即余数分别为789时,可增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3,因此,利用取整函数可表示为y=.
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=r2r0内切于正方形ABCD,任取圆上一点P,若=m+nm,n∈R,则是m2,n2的等差中项;现有一椭圆+=1ab0内切于矩形ABCD,任取椭圆上一点P,若=m+nm,n∈R,则m2,n2的等差中项为________.答案 解析 如图,设Px,y,由+=1知,Aa,b,B-a,b,由=m+n,可得代入+=1,可得m-n2+m+n2=1,即m2+n2=,所以=,即m2,n2的等差中项为.
二、解答题本大题共6小题,共90分15.14分1,,2能否为同一等差数列中的三项?说明理由.解 假设1,,2能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为d,则1=-md2=+nd,m,n为两个正整数,消去d,得m=+1n.∵m为有理数,+1n为无理数,∴m≠+1n.∴假设不成立.即1,,2不可能为同一等差数列中的三项.16.14分设a,b为实数,求证≥a+b.证明 当a+b≤0时,∵≥0,∴≥a+b成立.当a+b0时,用分析法证明如下要证≥a+b,只需证2≥2,即证a2+b2≥a2+b2+2ab,即证a2+b2≥2ab.∵a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,∴≥a+b成立.综上所述,对任意实数a,b不等式都成立.17.14分已知实数p满足不等式2p+1p+20,用反证法证明,关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.证明 假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根,则该方程的根的判别式Δ=4-45-p2≥0,解得p≥2或p≤-
2.
①而由已知条件实数p满足不等式2p+1p+20,解得-2p-.
②数轴上表示
①②的图形无公共部分,故假设不成立,从而关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.18.16分某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
④sin2-18°+cos248°-sin-18°cos48°;
⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;2根据1的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解 1选择
②式计算如下sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.2三角恒等式为sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=.证明如下sin2α+cos230°-α-sinαcos30°-α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2-sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.19.16分2017·江苏如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,FE与A,D不重合分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证1EF∥平面ABC;2AD⊥AC.证明 1在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.2因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.20.16分如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证1EF∥平面ABC;2平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明 1因为E,F分别为A1B,A1C的中点,所以EF∥BC又EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.2因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1,BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,所以A1D⊥平面BB1C1C,又A1D⊂平面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.多面体面数F顶点数V棱数E三棱柱569五棱锥6610立方体6812。