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文本内容:
2.
3.1 平均数及其估计内容要求
1.会求样本的平均数重点；
2.运用样本的平均数来估计总体的平均水平重点；
3.会应用相关知识解决简单的实际问题难点.知识点 众数、中位数、平均数或均值
1.众数、中位数、平均数或均值定义1众数一组数据中重复出现次数最多的数.2中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置或中间两个数的平均数的数叫做这组数据的中位数.3平均数或均值如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝x1＋x2＋…＋xn叫做这n个数的平均数或均值.
2.若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
3.三种数字特征与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数1在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；2表示样本数据所占频率的等分线平均数1平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；2平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点【预习评价】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本为（12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68），则该样本的中位数、众数、平均数分别是________.解析 由题意知各数为121520222323313234343839454545474748484950，505151545759616768，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，平均数为
42.
2.答案
464542.2题型一 平均数的计算【例1】 已知样本数据10861081310101078912811129101112，列出频率分布表，求样本平均数.解 极差为13－6＝7，取组距为2，分成4组，即[
5.
57.5，[
7.
59.5，[
9.
511.5，[
11.
513.5]，列频率分布表如下分组频数频率[
5.
57.
520.1[
7.
59.
560.3[
9.
511.
580.4[
11.
513.5]
40.2合计201样本平均数＝×10＋8＋6＋10＋…＋11＋12＝
9.
7.规律方法
1.在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“平均数”公式.
2.当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，可先将各数减去同一个常数计算新数据的平均数，则所求平均数为新数据的平均数加上（减去）同一个常数，这种方法可以减少运算量，故此法比较简便.【训练1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示成绩单位m
1.
501.
601.
651.
701.
751.
801.
851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解 在17个数据中，
1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是
1.
75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据
1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是
1.70；这组数据的平均数是＝
1.50×2＋
1.60×3＋…＋
1.90×1＝≈
1.69m.故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为
1.75m，
1.70m
1.69m.题型二 用样本平均数估计总体平均数【例2】 1一个球队所有队员的身高如下单位cm
178179181182176180176180183175181185180184.问这个球队的队员平均身高是多少？2有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下[
12.
514.5，
60.06；[
14.
516.5，
160.16；[
16.
518.5，
180.18；[
18.
520.5，
220.22；[
20.
522.5，
200.20；[
22.
524.5，
100.10；[
24.
526.5]，
80.
08.试估计总体的平均数.解 1法一 利用平均数的定义计算.＝×178＋179＋181＋182＋176＋180＋176＋180＋183＋175＋181＋185＋180＋184＝×2520＝
180.所以该球队的队员平均身高为180cm.法二 利用新数据法进行计算.取a＝180，将各数据减去180，得到一组新数据－2，－112，－40，－403，－
51504.′＝×－2－1＋1＋2－4＋0－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4＝×0＝0，∴＝′＋a＝0＋180＝
180.故该球队的队员平均身高为180cm.2法一 ×
13.5×6＋
15.5×16＋
17.5×18＋
19.5×22＋
21.5×20＋
23.5×10＋
25.5×8＝
19.
42.故总体的平均数约为
19.
42.法二
13.5×
0.06＋
15.5×
0.16＋
17.5×
0.18＋
19.5×
0.22＋
21.5×
0.20＋
23.5×
0.10＋
25.5×
0.08＝
19.
42.故总体的平均数约为
19.
42.规律方法
1.当条件给出某几个范围内的数据的频数或频率时，可用组中值求近似平均数.
2.对连续型分布的有关问题，可用组中值法求样本数据的平均数，这种方法求得的平均值只是一个估计值.【训练2】 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第
一、
二、
三、
四、五小组的频率分别是
0.
30、
0.
40、
0.
15、
0.
10、
0.
05.求1高一参赛学生成绩的众数、中位数；2高一参赛学生的平均成绩.解 1由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为
0.3，∴设中位数为60＋x，则
0.3＋x×
0.04＝
0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝
65.2依题意，平均成绩为55×
0.3＋65×
0.4＋75×
0.15＋85×
0.1＋95×
0.05＝67，∴平均成绩约为
67.方向1 频率分布直方图中众数、中位数的考查【例3－1】 某城市100户居民的月平均用电量单位度，以[160，180，[180，200，[200，220，[220，240，[240，260，[260，280，[280，300]分组的频率分布直方图如图．1求直方图中x的值；2求月平均用电量的众数和中位数；3在月平均用电量为[220，240，[240，260，[260，280，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220，240内的用户中应抽取多少户？解 1由
0.002＋
0.0095＋
0.011＋
0.0125＋x＋
0.005＋
0.0025×20＝1，得x＝
0.0075，∴直方图中x的值为
0.
0075.2月平均用电量的众数是＝
230.∵
0.002＋
0.0095＋
0.011×20＝
0.
450.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240内，设中位数为a，则
0.002＋
0.0095＋
0.011×20＋
0.0125×a－220＝
0.5，解得a＝224，即中位数为
224.3月平均用电量在[220，240内的用户有
0.0125×20×100＝25户，同理可求月平均用电量为[240，260，[260，280，[280，300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为＝.∴从月平均用电量在[220，240内的用户中应抽取25×＝5户．方向2 频率分布表与特征数综合【例3－2】 已知50名同学参加数学竞赛成绩的分组及各组的频数如下单位分[4050，2；[5060，3；[6070，10；[7080，15；[8090，12；
[90100]，
8.列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分.解 由于每组的数据是一个范围，所以可用各组区间的组中值近似地表示该组平均成绩.频率分布表如下成绩分组频数频率[
405020.04[
506030.06[
6070100.20[
7080150.30[
8090120.24
[90100]
80.16合计
501.00法一 总成绩约为45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3810分，故这50名同学的平均分约为3810÷50＝
76.2分.法二 求组中值与对应频率之积的和.45×
0.04＋55×
0.06＋65×
0.20＋75×
0.30＋85×
0.24＋95×
0.16＝
76.2分.即这50名同学的平均分约是
76.2分.方向3 频率分布直方图与特征数的综合【例3－3】 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩均为整数分成六段[4050，[5060，[6070，[7080，[8090，
[90100]后，画出如图部分频率分布直方图.观察图形回答下列问题1求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；2估计这次考试的及格率60分及以上为及格；3估计这次考试的平均分.解 1因为各组的频率和为1，所以第四组的频率f4＝1－
0.025＋
0.015×2＋
0.01＋
0.005×10＝
0.
3.频率分布直方图如图所示2依题意，60分及以上的分数所在的第
三、
四、
五、六组的频率和为
0.
75.所以估计这次考试及格率为75%.3平均分为45×
0.1＋55×
0.15＋65×
0.15＋75×
0.3＋85×
0.25＋95×
0.05＝
71.规律方法
1.已知样本数据是以某几个范围内的频数的形式给出时，通常用组中值代表相应范围内数据的平均值，然后根据样本平均数的计算公式求得近似平均数.
2.利用直方图求数字特征时1众数是最高的矩形底边的中点；2中位数左、右两边直方图的面积应该相等；3平均数等于每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标乘积之和.课堂达标
1.给定数据5981013的平均数为________.解析 平均数＝×5＋9＋8＋10＋13＝
9.答案
92.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中得分为8，9，11，12，12，12，13，13，14，16，17，18，19，20，21，21，21，23，23，23，23，25，25，27，28，28，30，31，32，32，33，34，34，38，39，40，41，43，45，46，则中位数与众数分别为________、________.解析 这40个数据中中间两个数据都是
23.因此中位数为＝
23.这40个数据中23出现的次数最多共4次，因此众数为
23.答案 23
233.某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量单位克分别为150152153149148146151150152147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________.解析 平均数为＝＝
149.8克.答案
149.8克
4.将一组数据同时减去
3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为，则新数据的平均数是________.解析 设原来数据为a1，a2，…，an，则a1＋a2＋…＋an＝n，从而新数据的平均数为＝＝－
3.
1.答案 －
3.
15.某班进行一次考核，满分5分，3分包括3分以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班总人数的比例分别为5%10%35%40%和10%，试求该班的平均得分.解 该班的平均得分为＝1×
0.05＋2×
0.10＋3×
0.35＋4×
0.40＋5×
0.10＝
3.4分.课堂小结
1.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.
2.一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.
3.利用直方图求数字特征
①众数是最高矩形的底边中点.
②中位数左右两边直方图的面积应相等.
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标乘积之和.
4.求平均数的方法1定义法已知x1，x2，x3，…，xn为某样本的n个数据，则这n个数据的平均数为＝.2利用平均数的性质如果x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.3加减常数法数据x1，x2，…，xn都比较大或比较小，且x1，x2，…，xn在固定常数a附近波动，将原数据变化为x1±a，x2±a，…，xn±a，新数据的平均数为′，则所求原数据的平均数为′∓a.4加权平均数法样本中，数据x1有m1个，x2有m2个，…，xk有mk个，则＝.基础过关
1.已知一组数据465876，那么这组数据的平均数为________.解析 ＝＝
6.答案
62.某市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速km/h分别为上班时间18，20，21，26，27，28，28，30，32，33，35，40；下班时间16，17，19，22，25，27，29，29，30，30，32，36，则上、下班时间的中位数分别是________和________.解析 将两组数据分别按从小到大排列，如上班时间的数据为182021262728283032333540，找出中间两个数为2828，则其中位数为28，同理得出下班时间的中位数为
28.答案 28
283.在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下单位分钟
80707070606080606070.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟.解析 法一 观察数据知80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2＋4＋4＝10，∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为＝68分钟.法二 观察数据知所有数据均在70附近波动，可将各数据同时减70得一组新数据10000，－10，－1010，－10，－100这组新数据的平均数为＝－2，∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为70＋－2＝68分钟.答案
684.已知1234，x1，x2，x3的平均数是8，那么x1＋x2＋x3的值是________.解析 由条件知，1＋2＋3＋4＋x1＋x2＋x3＝8×
7.∴x1＋x2＋x3＝
46.答案
465.某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表次品数01234频率
0.
50.
20.
050.
20.05则次品数的众数、平均数依次为________.解析 数据xi出现的频率为pii＝12，…，n，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.因此次品数的平均数为0×
0.5＋1×
0.2＋2×
0.05＋3×
0.2＋4×
0.05＝
1.
1.由频率知次品数的众数为
0.答案
01.
16.从一批机器零件毛坯中随机抽取20件，称得它们的质量单位kg如下210 208 200 205 202 218 206 214 215207 195 207 218 192 202 216 185 227187 215计算样本平均数，并估计这批机器零件毛坯的平均质量结果精确到个位.解 法一 由题中数据得＝×210＋208＋…＋215＝≈206kg，即样本平均数约为206kg.法二 将原数据中的各数据都减去200，得到一组新数据10 8 0 5 2 18 6 14 15 7－5 7 18 －8 2 16 －15 27 －13 15新数据的平均数为′＝×10＋8＋…＋15＝＝
6.45，∴样本数据的平均数是＝′＋200≈206kg.于是估计这批机器零件毛坯的平均质量约为206kg.
7.某地用随机抽样的方法检查了630名50岁～60岁女性血清甘油三酯含量mg/dl，频率分布表如下表所示，分别用频数和频率计算这630名女性血清甘油三酯含量的平均值.分组组中值频数频率[
104025270.043[
4070551690.268[
70100851670.265[
100130115940.149[
130160145810.129[
160190175420.067[
190220205280.044[
220250235140.022[
25028026540.006[
28031029530.005
[310340]
32510.002合计6301解 由于每组数据是一个范围，所以可用组中值近似地求平均数.法一 设mi表示第i组的频数，xi表示第i组的组中值，fi表示第i组的频率.由各分组的组中值x1，x2，…，x11分别是2555，…，325，用频数计算时，血清甘油三酯含量的平均值＝ixi＝27×25＋169×55＋…＋1×325＝≈
103.
8.法二 用频率计算时，血清甘油三酯含量的平均值＝ixi＝
0.043×25＋
0.268×55＋…＋
0.002×325≈
103.
8.能力提升
8.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分分别为甲13，23，26，28，37，39，41；乙24，25，32，36，37，45，47，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________.解析 甲的中位数是28，乙的中位数是36，则两人比赛得分的中位数之和为
64.答案
649.若x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数是________.解析 由题意知前10个数的总和为10a，后40个数的总和为40b，又总个数为50，∴x1，x2，…，x50的平均数为＝.答案
10.青少年视力水平的下降已引起全社会的关注，为了了解某中学毕业年级300名学生的视力情况，从中抽测了一部分学生的视力，进行数据整理如下频率分布表分组频数频率
3.95～
4.
2520.
044.25～
4.
5560.
124.55～
4.
85230.
464.85～
5.
15180.
365.15～
5.
4510.02合计
501.00若视力在
4.85以上均属正常不需矫正，试估计该校毕业年级学生视力正常的人数约________.解析 300×
0.36＋
0.02＝114名答案
11411.某班有四个学习小组，各小组人数分别为1010，x8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为________.解析 由于x未知，因此中位数不确定，需讨论.该组数据的平均数为10＋10＋x＋8＝28＋x，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.1当x≤8时，原数据从小到大排序为x81010，中位数是9，由28＋x＝9，得x＝8，符合题意，此时中位数是9；2当8＜x≤10时，原数据从小到大排序为8，x1010，中位数是x＋10，由28＋x＝10＋x，得x＝8，与8＜x≤10矛盾，舍去；3当x＞10时，原数据从小到大排序为81010，x，中位数是10，由28＋x＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是
10.综上所述，这组数据的中位数是9或
10.答案 9或
1012.高一3班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分.1求这次测验全班的平均分精确到
0.01；2估计全班成绩在80分以下含80分的同学至少有多少人？3分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？解 1利用平均数计算公式得＝82×27＋80×21≈
81.13分.2∵男同学的中位数是75，∴至少有14人得分不超过75分.又∵女同学的中位数是80，∴至少有11人得分不超过80分.∴全班至少有25人得分低于80分含80分.3男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大.
13.选做题为了比较两种治疗失眠症的药分别称为A药，B药的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间单位h.试验的观测结果如下服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间
0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.
52.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间
3.2
1.7
1.9
0.8
0.9
2.4
1.2
2.6
1.3
1.
41.6
0.5
1.8
0.6
2.1
1.1
2.5
1.2
2.7
0.5分别计算两组数据的平均数，从计算结果看哪种药的疗效更好？解 设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝×
0.6＋
1.2＋
1.2＋
1.5＋
1.5＋
1.8＋
2.2＋
2.3＋
2.3＋
2.4＋
2.5＋
2.6＋
2.7＋
2.7＋
2.8＋
2.9＋
3.0＋
3.1＋
3.2＋
3.5＝
2.
3.y＝×
0.5＋
0.5＋
0.6＋
0.8＋
0.9＋
1.1＋
1.2＋
1.2＋
1.3＋
1.4＋
1.6＋
1.7＋
1.8＋
1.9＋
2.1＋
2.4＋
2.5＋
2.6＋
2.7＋
3.2＝
1.
6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好.。
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