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2019版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例
9.1随机抽样学案文[知识梳理]1.简单随机抽样1定义设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本n≤N,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.2最常用的简单随机抽样的方法抽签法和随机数表法.2.系统抽样1定义当总体中的个体数目较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照事先定出的规则,从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样方法叫做系统抽样.2系统抽样的操作步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号;
②确定分段间隔k,对编号进行分段,当n是样本容量是整数时,取k=;当不是整数时,可随机地从总体中剔除余数x,取k=;
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号ll≤k;
④按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号1+k,再加k得到第3个个体编号1+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样1定义在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.2应用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.注三种抽样方法的比较[诊断自测]1.概念思辨1简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关. 2系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样. 3分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本,分层抽样为保证各个个体等可能入样,必须进行每层等可能抽样. 4要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平. 答案 1× 2√ 3× 4×2.教材衍化1必修A3P64A组T3某单位有职工140人,其中科技人员91人,行政干部28人,职员21人,为了了解职工的某种情况要从中抽取一个容量为20的样本.以下抽样方法中,依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是
①将140人从1~140编号,然后制出有编号1~140的140个形状大小相同的号签;将号签放入同一个箱子时进行均匀搅拌,并从中抽取20个号签,编号与签号相同的20人选出.
②将140个人分成20组,每组7个人,并将每组7人按1~7编号,在第一组中采用抽签的方法抽出K号1≤K≤7,则其余各组K号也被抽到,20个人被选出.
③按20∶140=1∶7的比例,从科技人员中抽取13人,从行政人员中抽取4人,从职员中抽取3人,从各类人员中抽取所需人员时,均采用随机数表法,可抽出20人.A.
②①③B.
②③①C.
①②③D.
③②①答案 C解析 从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的操作步骤入手.故选C.2必修A3P64A组T4某初级中学有270人,其中一年级108人,
二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将按
一、
二、三年级依次统一编号为12,…,270;使用系统抽样时,将统一随机编号12,…,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况
①7346188115142169196223250;
②59100107111121180195200265;
③11386592119146173200227254;
④
305784111138165192219246270.下列关于上述样本的结论正确的是 A.
②③都不能为系统抽样B.
②④都不能为分层抽样C.
①④都可能为系统抽样D.
①③都可能为分层抽样答案 D解析 从抽得号码的编号入手,若为系统抽样,则抽样间隔应该相等,若可能为分层抽样,则
一、
二、三年级应按4∶3∶3的比例进行抽取,即1~108号抽取4人,109~189号抽取3人,190~270号应抽取3人.故选D.3.小题热身1xx·全国卷Ⅰ为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样答案 C解析 该地区不同学段学生视力情况有较大差异,不适合采用简单随机抽样和系统抽样,又男、女生视力差别不大,故不适合按性别分层抽样.故选C.2xx·长春模拟将高一9班参加社会实践编号为123,…,48的48名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,29号,41号学生在样本中,则样本中还有一名学生的编号是________.答案 17解析 根据系统抽样的概念,所取的4个样本的编号应成等差数列,故所求编号为
17.题型1 简单随机抽样 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;
②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0B.1C.2D.3应用简单随机抽样的定义进行判断.答案 A解析
①不是简单随机抽样.因为被抽取样本的总体的个数是无限的,而不是有限的;
②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样;
③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取;
④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样,故选A. xx·河北模拟总体由编号为0102,…,1920的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 7816657208026314070143699728019832049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01随机数法.答案 D解析 选出的5个个体的编号依次是0802140701,故选D.方法技巧1.简单随机抽样的特点1被抽取样本的总体中的个体数是有限的;2是逐个抽取;3是不放回抽取;4是等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.2.抽签法与随机数法的适用情况1抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.2一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.3在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.冲关针对训练利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 A.B.C.D.答案 C解析 根据题意,=,解得n=
28.故每个个体被抽到的概率为=.故选C.题型2 系统抽样 xx·徐州模拟从编号为012,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为 A.8B.10C.12D.16确定分段间隔,再利用间隔不变解题.答案 B解析 从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件,则可将这80件产品分成5组,每组16件,每组抽取1件,而编号为42的产品在第3组,所以第1组所抽取产品的编号为42-16×2=10,故选B.[条件探究1] 把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10,a42,b74号在样本中”,求a+b.解 由典例中解析易知编号构成首项为10,公差为16的等差数列,易求得a=26,b=58,故a+b=
84.[条件探究2] 把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为185”,则抽到的最小编号是多少?解 利用等差数列前n项和公式S5=5a1+·16=185,得a1=
5.方法技巧系统抽样的注意点1.系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.2.若不改变抽样规则,则所抽取的号码构成一个等差数列,其首项为第一组所抽取的号码,公差为样本间隔.故问题可转化为等差数列问题解决.3.抽样规则改变,应注意每组抽取一个个体这一特性不变.4.如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样,其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法.冲关针对训练xx·广东肇庆模拟一个总体中有100个个体,随机编号为012,…,
99.依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为12,…,
10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组中随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第7组中抽取的号码是 A.63B.64C.65D.66答案 A解析 由题设知,若m=6,则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同,而第7组中数字编号依次为60616263,…,69,故在第7组中抽取的号码是
63.故选A.题型3 分层抽样 xx·北京高考某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为 类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B.100C.180D.300根据抽样比列方程.答案 C解析 设该样本中的老年教师人数为x,由题意及分层抽样的特点得=,故x=
180.故选C. xx·西安摸底考试某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第
一、
二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为 A.800B.1000C.1200D.1500答案 C解析 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.所以=.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的,即为×3600=
1200.故选C.方法技巧分层抽样问题类型及解题思路1.求某层应抽个体数量按该层所占总体的比例计算.2.已知某层个体数量,求总体容量或反之根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.3.分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解,其中“抽样比==”.提醒分层抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni=n·i=12,…,k个个体其中i是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量.冲关针对训练xx·广东高考已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A.20020B.10020C.20010D.10010答案 A解析 由题意可得该地区共有中小学生10000人,故样本容量为10000×2%=200,由分层抽样知应抽取高中学生的人数为200×=40,其中近视人数为40×50%=20,故选A.
1.xx·湖南高考对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则 A.p1=p2p3B.p2=p3p1C.p1=p3p2D.p1=p2=p3答案 D解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率相等,故选D.2.xx·江西八校联考从编号为001002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007032,则样本中最大的编号应该为 A.480B.481C.482D.483答案 C解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1=7,a2=32,d=25,所以7+25n-1≤500,所以n≤20,最大编号为7+25×19=
482.故选C.3.xx·大连调研某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按12,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间
[481720]的人数为 A.11B.12C.13D.14答案 B解析 由系统抽样定义可知,所分组距为=20,每组抽取一个,因为包含整数个组,所以抽取个体在区间
[481720]的数目为720-480÷20=
12.故选B.4.xx·江苏高考某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200400300100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.答案 18解析 ∵==,∴应从丙种型号的产品中抽取×300=18件.[基础送分提速狂刷练]
一、选择题1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是 A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本答案 A解析 5000名居民的阅读时间的全体是总体,每名居民的阅读时间是个体,200是样本容量,故选A.2.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000001002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,若第一组编号为000001002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为 A.700B.669C.695D.676答案 C解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,分段间隔k===20,故抽取的第35个编号为15+35-1×20=
695.故选C.3.某月月底,某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额.先将该月的全部销售发票的存根进行了编号,123,…,然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为123,…,10的前10张发票的存根中随机抽取1张,然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……,则抽样中产生的第2张已编号的发票存根,其编号不可能是 A.13B.17C.19D.23答案 D解析 因为第一组的编号为123,…,10,所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为111213,…,20,故第2张已编号的发票存根的编号不可能为
23.故选D.4.从某500件产品中随机抽取50件进行质检,利用随机数表法抽取样本时,先将这500件产品按001002003,…,500进行编号.如果从随机数表的第7行第4列的数2开始,从左往右读数,则依次抽取的第4个个体的编号是 附随机数表第6行至第8行各数如下A.217B.245C.421D.206答案 D解析 产品的编号为3位号码,故每次读数取3位,第一个三位数为217,依次取出符合条件的号码为157245206,故第4个个体编号为
206.故选D.5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为12,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为
9.抽到的32人中,编号落入区间
[1450]的人做问卷A,编号落入区间
[451750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为 A.7B.9C.10D.15答案 C解析 由系统抽样的特点,知抽取号码的间隔为=30,抽取的号码依次为93969,…,
939.落入区间
[451750]的有459489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+n-1×30,解得n=
10.所以做问卷B的有10人.故选C.6.xx·朝阳质检某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3000件,且它们的数量成等比数列,现用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测,其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件,则甲类产品有 A.100件B.200件C.300件D.400件答案 B解析 设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a1,a2,a3,a4件进行检测,由于四类产品的数量成等比数列且是分层抽样,所以a1,a2,a3,a4也成等比数列,设此等比数列的公比为q,由即解得即从甲类产品中抽取10件,则甲类产品的数量为=200件,故选B.7.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为0102,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为 49544354821737932378873520964384263491645724550688770474476721763350258392120676A.23B.09C.02D.17答案 C解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为213209161702,故选出的第6个红色球的编号为
02.故选C.8.xx·包头检测将参加夏令营的600名学生按001002,…,600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为
003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为 A.26168B.25178C.25169D.24179答案 B解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第kk∈N*组抽中的号码是3+12k-1.令3+12k-1≤300,得k≤,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;令3003+12k-1≤495,得k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17;第Ⅲ营区被抽中的人数为50-25-17=
8.故选B.9.某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则最适合抽取样本的方法是 A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老年人中剔除1人,再用分层抽样答案 D解析 因为总体由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.因为总人数为28+54+81=163,样本容量为36,由于按抽样,无法得到整数解,因此考虑先剔除1人,将抽样比变为=.若从老年人中随机地剔除1人,则老年人应抽取27×=6人,中年人应抽取54×=12人,青年人应抽取81×=18人,从而组成容量为36的样本.故选D.10.xx·山西阳泉调研学校高中部共有学生2000名,高中部各年级男、女生人数如表,已知在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高三年级女生的概率是
0.18,现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生,则应在高二年级抽取的学生人数为 高一级高二级高三级女生373yx男生327z340A.14B.15C.16D.17答案 B解析 由已知高三女生数x=2000×
0.18=
360.故高三年级总共有360+340=700人.而高一年级共有373+327=700人.所以高二年级共有2000-700-700=600人.设高二年级应抽取的学生数为n,则由分层抽样的特点知,=,解得n=
15.故选B.
二、填空题11.xx·郑州期末已知某商场新进3000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为________.答案 1211解析 由系统抽样,抽样间隔k==20,由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列,则a61=11+60×20=1211,故第61组抽取号码为
1211.12.xx·浙江五校模拟某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在A,B,C,D四个单位回收的问卷数依次成等差数列,且共回收1000份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本,若在B单位抽30份,则在D单位抽取的问卷是________份.答案 60解析 由题意依次设在A,B,C,D四个单位回收的问卷数分别为a1,a2,a3,a4,则=,∴a2=
200.又a1+a2+a3+a4=1000,即3a2+a4=1000,∴a4=
400.设在D单位抽取的问卷数为n,∴=,解得n=
60.13.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出
一、
二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.答案 50 1015解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%=50;该产品的平均使用寿命为1020×
0.5+980×
0.2+1030×
0.3=
1015.14.xx·临沂期末某地区有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.在普通家庭中以简单随机抽样的方式抽取990户,在高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地区拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________.答案
5.7%解析 99000户普通家庭中拥有3套或3套以上住房的约有99000×=5000户,1000户高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的约有×1000=700户,故该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为×100%=
5.7%.
三、解答题15.某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求样本容量n.解 总体容量为6+12+18=
36.当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为,分层抽样的比例是,抽取工程师人数为×6=人,技术员人数为×12=人,技工人数为×18=人,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=
61218.当样本容量为n+1时,总体容量是35,系统抽样的间隔,因为必须是整数,所以n只能取6,即样本容量n=
6.16.某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200共计160320480104020001若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?2若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?3若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?解 1按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取,抽取比例为=.故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人.2按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取,抽取比例为=,故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人.3用系统抽样,对全部2000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100200,…,1900,共20人组成一个样本.。