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2019版高考数学一轮复习第八章解析几何第47讲两条直线的位置关系学案考纲要求考情分析命题趋势
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.xx·湖南卷,13xx·四川卷,14xx·江苏卷,11确定两条直线的位置关系,已知两条直线的位置关系求参数,求直线的交点和点到直线的距离,对称问题,过定点的直线系问题.分值3~5分1.两条直线平行与垂直的判定1两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔__k1=k2__;
②当不重合的两条直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为__平行__.2两条直线垂直
①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔__k1k2=-1__;
②如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则l1与l2的关系为__垂直__.2.两条直线的交点3.三种距离点P1x1,y1,P2x2,y2之间的距离=____点P0x0,y0到直线l Ax+By+C=0的距离d=____两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=____4.必会结论1与直线Ax+By+C=0A2+B2≠0垂直和平行的直线方程可设为
①垂直Bx-Ay+m=0;
②平行Ax+By+n=
0.2与对称问题相关的两个结论
①点Px0,y0关于Aa,b的对称点为P′2a-x02b-y0.
②设点Px0,y0关于直线y=kx+b的对称点为P′x′,y′. 则有可求出x′,y′.1.思维辨析在括号内打“√”或“×”.1若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. × 2点Px0,y0到直线y=kx+b的距离为. × 3直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. √ 4两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. √ 5若点A,B关于直线l y=kx+bk≠0对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上. √ 解析1错误.当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.2错误.应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即点P到直线的距离为.3正确.因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离.4正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.5正确.根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB,所以直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.2.已知l1的倾斜角为45°,l2经过点P-2,-1,Q3,m,若l1⊥l2,则实数m= B A.6 B.-6 C.5 D.-5解析由已知得k1=1,k2=.∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴1×=-1,即m=-
6.3.点0,-1到直线x+2y=3的距离为 B A. B. C.5 D.解析d==.4.点a,b关于直线x+y+1=0的对称点是 B A.-a-1,-b-1 B.-b-1,-a-1C.-a,-b D.-b,-a解析设对称点为x′,y′,则解得x′=-b-1,y′=-a-
1.5.直线l1x-y=0与直线l22x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为 D A.3 B.5 C.-5 D.-8解析由得l1与l2的交点坐标为11,所以m+3+5=0,m=-
8.一 两条直线的平行与垂直问题两条直线平行与垂直问题中的注意点1当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【例1】已知两条直线l1ax-by+4=0和l2a-1x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.1l1⊥l2,且l1过点-3,-1;2l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解析1由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a.若k2=0,则1-a=0,a=
1.∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=
0.又∵l1过点-3,-1,∴-3a+4=0,即a=矛盾,∴此种情况不存在,∴k2≠0,即k1,k2都存在.∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,∴k1k2=-1,即1-a=-
1.*又∵l1过点-3,-1,∴-3a+b+4=
0.**由***联立,解得a=2,b=
2.2∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a,
①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,
②联立
①②,解得或∴a=2,b=-2或a=,b=
2.二 两条直线的交点问题常用的直线系方程1与直线Ax+By+C=0平行的直线系是Ax+By+m=0m≠C.2与直线Ax+By+C=0垂直的直线系是Bx-Ay+m=
0.3过直线l1A1x+B1y+C1=0与l2A2x+B2y+C2=0的交点的直线系是A1x+B1y+C1+mA2x+B2y+C2=0,但不包括l
2.【例2】求经过直线l13x+2y-1=0和l25x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l33x-5y+6=0的直线l的方程.解析先解方程组得l1,l2的交点坐标为-12,由于l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1,l2的交点-12,故5×-1+3×2+C=0,由此求出C=-1,故l的方程为5x+3y-1=
0.三 距离公式的应用利用距离公式应注意的问题1点Px0,y0到直线x=a的距离d=,到直线y=b的距离d=.2应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x,y的系数化为相等.【例3】已知点P2,-1.1求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;2求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?解析1过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为2,-1,显然,过P2,-1且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的方程为x=
2.若斜率存在,设l的方程为y+1=kx-2,即kx-y-2k-1=
0.由已知得=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=
0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=
0.2作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-=
2.由直线方程的点斜式得y+1=2x-2,即2x-y-5=
0.所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.四 对称问题及其应用两种对称问题的处理方法1直线关于点的对称,其主要方法是在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;或者求出一个对称点,再利用l1∥l2,由点斜式得到所求的直线方程.2关于轴对称问题的处理方法
①点关于直线的对称,若两点P1x1,y1与P2x2,y2关于直线l Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标x2,y2其中B≠0,x1≠x2.
②直线关于直线的对称,此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.【例4】1已知直线l x+2y-2=
0.
①求直线l1y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
②求直线l关于点A11对称的直线方程.2光线由点A-5,入射到x轴上点B-20,又反射到y轴上的M点,再经y轴反射,求第二次反射线所在直线l的方程.解析1
①由解得交点P20.在l1上取点M0,-2,M关于l的对称点设为Na,b,则解得N,∴kl2==7,又直线l2过点P20,∴l2的方程为7x-y-14=
0.
②设所求的直线方程为x+2y+m=
0.在l上取点B01,则点B01关于点A11的对称点C21必在所求的直线上,∴m=-4,即所求的直线方程为x+2y-4=
0.2点A-5,关于x轴的对称点A′-5,-在反射光线所在的直线BM上,可知lBM y=x+2,∴M.又第二次反射线的斜率k=kAB=-,∴第二次反射线所在直线l的方程为y=-x+,即x+y-2=
0.1.xx·福建厦门联考“C=5”是“点21到直线3x+4y+C=0的距离为3”的 B A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析点21到直线3x+4y+C=0的距离为3等价于=3,解得C=5或C=-25,所以“C=5”是“点21到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件,故选B.2.xx·河南郑州二模曲线fx=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为 C A.13 B.-13C.13或-13 D.1,-3解析f′x=3x2-
1.设点P的坐标为x0,x-x0+3,由导数的几何意义知3x-1=2,解得x0=±1,∴点P的坐标为13或-13,故选C.3.xx·浙江杭州质检设不同直线l12x-my-1=0,l2m-1x-y+1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析当m=2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立.当l1∥l2时,显然m≠0,从而有=m-1,解得m=2或m=-1,但当m=-1时,两直线重合,不合要求,故必要性成立,故选C.4.xx·河北名校联考直线y=a分别与直线y=3x+3,曲线y=2x+lnx交于A,B两点,则|AB|的最小值为 A A. B.1 C. D.4解析设Ax1,a,Bx2,a,则3x1+3=2x2+lnx2,∴x1=2x2+lnx2-3,∴|AB|=x2-x1=x2-lnx2+1,令fx=x-lnx+1,则f′x=,∴函数fx在01上单调递减,在1,+∞上单调递增,∴x=1时,fx取最小值,即|AB|min=.易错点 忽略直线过定点错因分析不熟悉直线方程形式,忽略直线过定点这一特性,致使解题过程复杂化,从而造成解题错误.【例1】已知0k4,直线l1kx-2y-2k+8=0与直线l22x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为________.解析l1,l2均恒过点P24.l1与y轴交点为A04-k,l2与x轴交点为B2k2+20,则S=S△PAO+S△POB=4-k·2·+2k2+2·4·=4-k+4k2+4=4k2-k+8,且0k4,∴k=-=时,面积最小.答案【跟踪训练1】设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点Px,y,求·的最大值.解析易知A00,B13,且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5当且仅当|PA|=|PB|时取“=”.课时达标 第47讲[解密考纲]对直线方程与两条直线的位置关系的考查,常以选择题或填空题的形式出现.
一、选择题1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a= D A.1 B.-C.- D.-2解析由a×1+2×1=0得a=-2,故选D.2.直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 C A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-5=0D.x+2y-5=0解析由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为13,直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数.直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线方程是y-3=-2x-1,即2x+y-5=
0.3.已知过点A-2,m和Bm4的直线与直线2x+y-1=0平行,则m= B A.0 B.-8 C.2 D.10解析kAB==-2,则m=-
8.4.“m=1”是“直线x-y=0和直线x+my=0互相垂直”的 C A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为m=1时,两直线方程分别是x-y=0和x+y=0,两直线的斜率分别是1和-1,所以两直线垂直,所以充分性成立;当直线x-y=0和直线x+my=0互相垂直时,有1×1+-1·m=0,所以m=1,所以必要性成立.故选C.5.若动点A,B分别在直线l1x+y-7=0和l2x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为 A A.3 B.2C.3 D.4解析由条件知点M的轨迹是直线x+y+=0,即x+y-6=0,所以最小距离为=
3.6.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P如图.若光线QR经过△ABC的重心,则AP= D A.2 B.1 C. D.解析以AB为x轴,AC为y轴建立如图所示的直角坐标系,由题设知B40,C04,则直线BC方程为x+y-4=0,设Pt00t4,则P144-t,P2-t0,根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线,直线P1P2的方程为y=·x+t,设△ABC的重心为G,易知G.因为重心G在光线RQ上,所以有=·,即3t2-4t=
0.因为0t4,所以t=,即|AP|=.故选D.
二、填空题7.经过点P-12且与曲线y=3x2-4x+2在点M11处的切线平行的直线的方程是__2x-y+4=0__.解析解析y′=6x-4,∴y′|x=1=2,∴所求直线方程为y-2=2x+1,即2x-y+4=
0.8.过点-11的直线被圆x2+y2-2x-4y-11=0截得的弦长为4,则该直线的方程为__x=-1或3x+4y-1=0__.解析圆x2+y2-2x-4y-11=0,即x-12+y-22=16,则圆心为点M12,半径r=
4.由条件知,点-11在圆内,设过点N-11的直线为l,当l的斜率k不存在时,l x=-1,则交点A-12-2,B-1,2+2,满足|AB|=
4.当l的斜率k存在时,设l y-1=kx+1,即kx-y+k+1=0,则圆心M12到直线l的距离d==.则d2+22=16,即d2==16-12=4,解得k=-.此时,y-1=-x+1,即3x+4y-1=
0.综上所述,直线l为x=-1或3x+4y-1=
0.9.已知定点A11,B33,动点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是__2__.解析点A11关于x轴的对称点为C1,-1,则|PA|=|PC|,设BC与x轴的交点为M,则|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=
2.由三角形两边之和大于第三边知,当P不与M重合时,|PA|+|PB|=|PC|+|PB|>|BC|,故当P与M重合时,|PA|+|PB|取得最小值.
三、解答题10.正方形的中心为点C-10,一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.解析点C到直线x+3y-5=0的距离d==.设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0m≠-5,则点C到直线x+3y+m=0的距离d==,解得m=-5舍去或m=7,所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=
0.设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d==,解得n=-3或n=9,所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=
0.综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y-3=03x-y+9=
0.11.已知△ABC中,A2,-1,B43,C3,-2,求1BC边上的高AD所在直线方程的一般式;2求△ABC的面积.解析1因为kBC==5,所以BC边上的高AD所在直线的斜率k=-.所以AD所在直线方程为y+1=-x-2,即x+5y+3=
0.2由题意得BC的直线方程为y+2=5x-3,即5x-y-17=
0.点A到直线BC的距离d==,|BC|=,S△ABC=
3.12.1在直线l3x-y-1=0上求一点P,使得P到A41和B04的距离之差最大.2在直线l3x-y-1=0上求一点Q,使得Q到A41和C34的距离之和最小.解析1如图1,设点B关于l的对称点B′的坐标为a,b,直线l的斜率为k1,则k1·kBB′=-1,即3·=-
1.图1∴a+3b-12=
0.
①又由于线段BB′的中点坐标为,且在直线l上,∴3×--1=
0.即3a-b-6=0
②.解
①②得a=3,b=3,∴B′33.于是AB′的方程为=,即2x+y-9=
0.解得即l与AB′的交点坐标为P25,此时|PA|-|PB|最大.2如图2,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为.图2∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC′和l的交点坐标为,故Q点坐标为,此时|QA|+|QC|最小.。