2018-2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第1课时比较法学案北师大版选修4-5

第1课时　比较法学习目标　

1.理解比较法证明不等式的理论依据.

2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.

3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法．知识点一　求差比较法思考　求差比较法的理论依据是什么？答案　a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜

0.梳理　求差比较法1求差比较法的理论依据a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.2求差比较法解题的一般步骤

①作差；

②变形；

③判断符号；

④下结论．其中变形是解题的关键，变形的目的是为了能够直接判定与0的大小，常用的方法因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．知识点二　求商比较法思考1　对于两个正数a，b，若＞1，能够判断a，b的大小吗？答案　能，根据不等式的性质知，＞1⇒a＞b.思考2　类比求差比较法，请谈谈求商比较法．答案　对于正数a，b，＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.梳理　1求商比较法若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明＞1；要证明b＞a，只要证明＜

1.这种证明不等式的方法，叫作求商比较法．2求商比较法的理论依据是不等式的基本性质

①b＞0，若＞1，则a＞b；若＜1，则a＜b；

②b＜0，若＞1，则a＜b；若＜1，则a＞b.3求商比较法解题的一般步骤

①判定a，b符号；

②求商；

③变形整理；

④判定与1的大小；

⑤得出结论．类型一　求差比较法证明不等式例1　已知正数a，b，c成等比数列，求证a2－b2＋c2≥a－b＋c

2.证明　因为正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，b＝，又a2－b2＋c2－a－b＋c2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2ba－2b＋c＝2b－2≥0，所以a2－b2＋c2≥a－b＋c

2.反思与感悟　求差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小．跟踪训练1　已知a≥1，求证－＜－.证明　∵－－－＝－＝＜0，∴－＜－.类型二　求商比较法证明不等式例2　已知a＞0，b＞0，求证aabb≥证明　因为aabb＞0，＞0，所以当a＝b时，显然有＝1；当a＞b＞0时，＞1，＞0，所以由指数函数的单调性可知，＞1；当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，所以由指数函数的单调性可知，＞

1.综上可知，对任意正数a，b，都有aabb≥引申探究1．若a＞0，b＞0，求证≥abba.证明　因为abba＞0，＞0，所以所以当a＝b时，显然有＝1；当a＞b＞0时，＞1，＜0，由指数函数的单调性，可得＜0＝1；当b＞a＞0时，0＜＜1，＞0，由指数函数的单调性，可得＜0＝1，综上可知，对任意a＞0，b＞0，都有abba≤.2．当a＞0，b＞0时，比较aabb与abba的大小．解　由例2和探究1知，aabb≥≥abba.反思与感悟　求商比较法证明不等式的一般步骤1作商将不等式左右两边的式子进行作商．2变形化简商式到最简形式．3判断判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于

1.4得出结论．跟踪训练2　已知a＞0，b＞0，求证＋≥＋.证明　∵＝＋＝＋＝＝.又∵a2＋b2≥2ab，∴≥＝1，当且仅当a＝b＞0时取等号，∴＋≥＋.类型三　比较法的应用例3　若a，b，m都是正数，并且a＜b，求证＞糖水不等式．证明　－＝.∵a，b，m都是正数，且a＜b，∴b－a＞0，bb＋m＞0，∴＞0，即－＞0，∴＞.反思与感悟　比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛．跟踪训练3　已知b，m1，m2都是正数，a＜b，m1＜m2，求证＜.证明　－＝＝＝.因为b＞0，m1＞0，m2＞0，所以b＋m1b＋m2＞

0.又a＜b，m1＜m2，所以a－b＜0，m2－m1＞0，从而a－bm2－m1＜

0.于是＜0，所以＜.1．已知不等式

①x2＋3＞2xx∈R＋；

②a5＋b5＞a3b2＋a2b3a，b∈R＋；

③a2＋b2≥2a－b－1．其中正确的个数为　　A．0B．1C．2D．3答案　C解析　

①x2＋3－2x＝x－12＋2＞0，故

①正确；

②取a＝b＝1，则a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故

②不正确；

③a2＋b2－2a－b－1＝a－12＋b＋12≥0，故

③正确．

2.＜1成立的充要条件是　　A．a＞1B．a＜0C．a≠0D．a＞1或a＜0答案　D解析　＜1⇔－1＜0⇔＜0⇔a＜0或a＞

1.3．若x，y∈R，记w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则　　A．w＞uB．w＜uC．w≥uD．无法确定答案　C解析　∵w－u＝x2－xy＋y2＝2＋≥0，∴w≥u.4．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是　　A．P＞QB．P＜QC．P≥QD．P≤Q答案　D解析　∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2＝2－2＝≤0当且仅当a＝b时取等号．∴P2－Q2≤0，∴P≤Q.5．设a＞b＞0，求证＞.证明　方法一　－＝＝＞0，∴原不等式成立．方法二　∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞

0.∴左边＞0，右边＞

0.∴＝＝1＋＞

1.∴原不等式成立．1．求差比较法证明不等式的技巧1求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．2变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．3因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．2．求商比较法适用证明的不等式的特点适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较．

一、选择题1．设a，b∈R＋，且a≠b，若P＝＋，Q＝a＋b，则　　A．P≥QB．P＞QC．P≤QD．P＜Q答案　B解析　P－Q＝＋－a－b＝＋＝.因为a，b∈R＋，且a≠b，所以P－Q＞

0.所以PQ.2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为　　A.＞B.＜C.≥D.≤答案　B解析　∵－＝＜0，∴＜.3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是　　A．m＜nB．m＞nC．m≥nD．m≤n答案　C解析　m2－n2＝ac－2＋bd－ac＋bd－ad－bc＝ad－2＋bc＝－2≥0，∴m2≥n

2.又m＞0，n＞0，∴m≥n.4．当a＜b＜0时，下列关系式中成立的是　　A.＜B．lgb2＜lga2C.＞1D.答案　B解析　方法一　取特殊值a＝－4，b＝－1，则选项A，C，D不正确，选项B正确，故选B.方法二　∵a＜b＜0，∴a2＞b

2.而函数y＝lgxx＞0为增函数，∴lgb2＜lga2，B项正确．5．已知a＞0，且a≠1，P＝logaa3＋1，Q＝logaa2＋1，则P，Q的大小关系是　　A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．大小不确定答案　A解析　P－Q＝logaa3＋1－logaa2＋1＝loga.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，∴loga＞0，即P－Q＞

0.∴P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，∴loga＞0，即P－Q＞

0.∴P＞Q.综上可知，P＞Q.6．已知a＞b＞0且ab＝1，设c＝，P＝logca，N＝logcb，M＝logcab，则　　A．P＜M＜NB．M＜P＜NC．N＜P＜MD．P＜N＜M答案　A解析　令a＝2，b＝，则c＝＝，则M＝logcab＝0，P＝＜0，N＝＞0，∴P＜M＜N.

二、填空题7．设a＞b＞c＞0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系为________．答案　x＜y＜z解析　∵a＞b＞c＞0，∴x＞0，y＞0，z＞

0.而x2－y2＝a2＋b2＋2bc＋c2－b2＋c2＋2ac＋a2＝2bc－2ac＝2cb－a＜0，∴x2＜y2，即x＜y；又y2－z2＝b2＋c＋a2－[c2＋a＋b2]＝2ac－2ab＝2ac－b＜0，∴y＜z.∴x＜y＜z.8．已知a＞00＜b＜1，a－b＞ab，则与的大小关系是________．答案　＞解析　∵a＞00＜b＜1，a－b＞ab，∴1＋a1－b＝1＋a－b－ab＞

1.从而＝＞1，∴＞.9．某家电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电进行降价销售，现有四种降价方案1先降价a%，再降价b%；2先降价b%，再降价a%；3先降价%，再降价%；4一次性降价a＋b%.其中a＞0，b＞0，且a≠b，则上述四种方案中，降价幅度最小的是________．答案　方案3解析　设降价前彩电的价格为1，按四种方案降价后彩电的价格依次为x1，x2，x3，x4，则x1＝1－a%1－b%＝1－a＋b%＋a%·b%；x2＝1－b%1－a%＝x1；x3＝＝1－a＋b%＋2；x4＝1－a＋b%＜1－a＋b%＋a%·b%＝x1＝x

2.又x3－x1＝2－a%·b%＞0，∴x3＞x1＝x2＞x

4.故降价幅度最小的是方案3．

三、解答题10．设a，b为非负实数，求证a3＋b3≥a2＋b2．证明　由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－a2＋b2＝a2－＋b2－＝－[5－5]．当a≥b时，≥，从而5≥5，则－[5－5]≥0；当a＜b时，＜，从而5＜5，则－[5－5]＞0，所以a3＋b3≥a2＋b2．11．设A＝＋，B＝a＞0，b＞0，试比较A，B的大小．解　因为＝＝×＝≥＝1当且仅当a＝b时，等号成立．又因为B＞0，所以A≥B.12．已知函数fx＝|x－1|＋|x＋1|，P为不等式fx＞4的解集．1求P；2证明当m，n∈P时，|mn＋4|＞2|m＋n|.1解　fx＝|x－1|＋|x＋1|＝由fx＞4，得x＞2或x＜－

2.所以不等式fx＞4的解集P＝{x|x＞2或x＜－2}．2证明　由1可知|m|＞2，|n|＞2，所以m2＞4，n2＞4，mn＋42－4m＋n2＝m2－4n2－4＞0，所以mn＋42＞4m＋n2，所以|mn＋4|＞2|m＋n|.13．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.证明　因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.所以a2b＋ab2－2ab＞0，a3＋b3－2ab＞

0.所以|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2b－a＋b2a－b＝a－bb2－a2＝－a－b2a＋b＜0，所以|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.

四、探究与拓展14．已知a＞2，求证logaa－1＜loga＋1a.证明　∵a＞2，∴a－1＞1，∴logaa－1＞0，loga＋1a＞

0.由于＝logaa－1·logaa＋1＜2＝

2.∵a＞2，∴0＜logaa2－1＜logaa2＝

2.∴2＜2＝

1.即＜

1.∵loga＋1a＞0，∴logaa－1＜loga＋1a.。